1．等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母__q__表示(q≠0)． 2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn1. 3．等比中项
若G2＝a·b_(ab≠0)，那么G叫做a与b的等比中项． 4．等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qnm(n，m∈N＋)．
(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n (k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an.
?1??an?(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，?a?，{a2bn}，?b?仍是等比数n}，{an·
?n?
?n?
－
－
列．
5．等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn， 当q＝1时，Sn＝na1；
a1?1－qn?a1－anq当q≠1时，Sn＝＝. 1－q1－q6．等比数列前n项和的性质
公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__qn__. 【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)满足an＋1＝qan(n∈N＋，q为常数)的数列{an}为等比数列．( × ) (2)G为a，b的等比中项?G2＝ab.( × )
(3)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．( × ) (4)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．( × ) a?1－an?
(5)数列{an}的通项公式是an＝a，则其前n项和为Sn＝.( × )
1－a
n
(6)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．( × )
1．(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7等于( ) A．21 B．42 C．63 D．84 答案 B
解析 设等比数列{an}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42，故选B.
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋an＝2n (n∈N＋)，则下列数列中一定为等比数列的是( ) A．{an} C．{an－2} 答案 C
解析 由Sn＋an＝2n (n∈N＋)，①
可得Sn－1＋an－1＝2(n－1) (n≥2，n∈N＋)，② 1
①－②得an＝an－1＋1 (n≥2，n∈N＋)，
2
1
所以an－2＝(an－1－2) (n≥2，n∈N＋)，且a1＝1，a1－2＝－1≠0，所以{an－2}一定是等比
2数列，故选C.
3．等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lg an}的前8项和等于( ) A．6 B．5 C．4 D．3 答案 C
解析 数列{lg an}的前8项和S8＝lg a1＋lg a2＋…＋lg a8＝lg(a1·a2·…·a8)＝lg(a1·a8)4 ＝lg(a4·a5)4＝lg(2×5)4＝4.
4．(2015·安徽)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和
B．{an－1} D．{Sn}
等于________． 答案 2n－1
??a1a4＝8，
解析 由等比数列性质知a2a3＝a1a4，又a2a3＝8，a1＋a4＝9，∴联立方程?
??a1＋a4＝9，???a1＝1，?a1＝8，
解得?或?又∵数列{an}为递增数列，
???a4＝8?a4＝1，
∴a1＝1，a4＝8，从而a1q3＝8，∴q＝2. 1－2n
∴数列{an}的前n项和为Sn＝＝2n－1.
1－2
5．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 答案 27,81
解析 设该数列的公比为q，由题意知， 243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3.
∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.
题型一 等比数列基本量的运算
例1 (1)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于( )
15313317A. B. C. D. 2442
a7
(2)已知在等比数列{an}中，a5a11＝6，a6＋a10＝7，则的值是________．
a9答案 (1)B (2)
6
或6 6
11
13
aq·aq＝1，??
解析 (1)显然公比q≠1，由题意得?a?1－q?
＝7，
?1－q?
3
???a1＝4，?a1＝9解得?1或?1(舍去)，
???q＝2，?q＝－3
1
4?1－?a1?1－q?2531
∴S5＝＝＝. 141－q1－2
5
???a6＝1?a6＝6
(2)因为{an}是等比数列，所以a5a11＝a6a10＝6，又a6＋a10＝7，解得?或?，
???a10＝6?a10＝1
16a716
设{an}的公比为q，则q4＝6或，q2＝6或，所以＝2＝或6. 66a9q6
思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．
a5
(1)在正项等比数列{an}中，an＋1＜an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，则等于( )
a7
5A. 62C. 3
6B. 53D. 2
(2)(2015·湖南)设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an＝________. 答案 (1)D (2)3n1
解析 (1)设公比为q，则由题意知0＜q＜1，
－
?a8＝a4·a6＝6，?a2·由?得a4＝3，a6＝2， ??a4＋a6＝5，
a5a43所以＝＝.
a7a62
(2)由3S1,2S2，S3成等差数列知，4S2＝3S1＋S3，可得a3＝3a2，所以公比q＝3，故等比数列通项an＝a1qn－1＝3n－1.
题型二 等比数列的判定与证明
例2 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. (1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． (1)证明 由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，
有a1＋a2＝S2＝4a1＋2. ∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.
??Sn＋1＝4an＋2， ①又? ??Sn＝4an－1＋2 ?n≥2?， ②
①－②，得an＋1＝4an－4an－1 (n≥2)， ∴an＋1－2an＝2(an－2an－1) (n≥2)． ∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1 (n≥2)， 故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列． (2)解 由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1， an＋1an3∴n1－n＝， 2＋24
an13
故{n}是首项为，公差为的等差数列． 224an133n－1∴n＝＋(n－1)·＝， 2244故an＝(3n－1)·2n－2. 引申探究
例2中“Sn＋1＝4an＋2”改为“Sn＋1＝2Sn＋(n＋1)”，其他条件不变，探求数列{an}的通项公式．
解 由已知得n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n. ∴Sn＋1－Sn＝2Sn－2Sn－1＋1， ∴an＋1＝2an＋1，
∴an＋1＋1＝2(an＋1)，又a1＝1，
当n＝1时上式也成立，故{an＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列， ∴an＋1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－1.
思维升华 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即
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