2020中考数学压轴题十五 动点综合问题（附答案解析）

2020中考数学压轴题十五 动点综合问题（附答案解析）

【典例分析】

【考点1】动点之全等三角形问题

4【例1】如图，直线y??x?4与x轴和y轴分别交于A,B两点，另一条直线过点A和点C(7,3).

3 (1)求直线AC的函数表达式; (2)求证: AB?AC;

(3)若点P是直线AC上的一个动点，点Q是x轴上的一个动点，且以P,Q,A为顶点的三角形与?AOB全等，求点Q的坐标.

【答案】(1) y?39x?;(2) AB2?AD2?BD2; (3) 点Q的坐标为(7,0)或(8,0)或(?1,0)或(?2,0) 44

【解析】（1）在y=-

44x+4中，令y=0，则0=-x+4，求得A（3，0），设直线AC对应的函数33关系式为y=kx+b，解方程组即可得到结论； （2）在直线ABy=-即可得到结论；

（3）根据勾股定理得到AB=5，①当∠AQP=90°时，如图1，由全等三角形的性质得到AQ=OB=4，于是得到Q1（7，0），Q2（-1，0），②当∠APQ=90°时，如图2，根据全等三角形的性质得到AQ=AB=5，于是得到Q3（8，0），Q4（-2，0），③当∠PAQ=90°时，这种情况不存在．

【详解】（1）在y=-

33944yx?x+4中，k1=-ACk2=＝得到，在直线中，得到，由于k1?k2=-1，

334444x+4中， 3令y=0，则0=-∴x=3， ∴A（3，0），

4x+4， 3设直线AC对应的函数关系式为y=kx+b，

?0＝3k?b则：??3＝7k?b3?k＝??4，解得： ??b＝?9?4?，

∴直线AC对应的函数关系式为y＝(2) 在直线ABy=-

39x-. 444x+4中， 3∵k1=-

4， 3339在直线ACy＝x?中，k2=，

444∴k1?k2=-1，

4∴AB⊥AC；（3）在y=-x+4中，

3令x=0，则y=4，

∴OA=3，OB=4，由勾股定理得AB=5，

①当∠AQP=90°时，如图1，∵△AOB≌△AQP， ∴AQ=OB=4，

∴Q1（7，0），Q2（-1，0），

②当∠APQ=90°时，如图2，∵△AOB≌△AQP， ∴AQ=AB=5，

∴Q3（8，0），Q4（-2，0）．

③当∠PAQ=90°时，这种情况不存在，

综上所述：点Q的坐标为：（7，0）（8，0）（-1，0）（-2，0）．

【点睛】考查了一次函数综合题，待定系数法求函数的解析式，勾股定理的应用和全等三角形的性质等知识，分类讨论是解题关键，以防遗漏．

【变式1-1】）如图,CA⊥BC,垂足为C,AC=2Cm,BC=6cm,射线BM⊥BQ,垂足为B,动点P从C点出发以

1cm/s的速度沿射线CQ运动,点N为射线BM上一动点,满足PN=AB,随着P点运动而运动,当点P运动_______秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等.(2个全等三角形不重合)

【答案】0；4；8；12

【解析】此题要分两种情况：①当P在线段BC上时，②当P在BQ上，再分别分两种情况AC＝BP或AC＝BN进行计算即可．

【详解】解：①当P在线段BC上，AC＝BP时，△ACB≌△PBN，

∵AC＝2， ∴BP＝2， ∴CP＝6?2＝4，

∴点P的运动时间为4÷1＝4（秒）；

②当P在线段BC上，AC＝BN时，△ACB≌△NBP， 这时BC＝PN＝6，CP＝0，因此时间为0秒； ③当P在BQ上，AC＝BP时，△ACB≌△PBN， ∵AC＝2， ∴BP＝2， ∴CP＝2＋6＝8，

∴点P的运动时间为8÷1＝8（秒）；

④当P在BQ上，AC＝NB时，△ACB≌△NBP， ∵BC＝6， ∴BP＝6， ∴CP＝6＋6＝12，

1＝12（秒）点P的运动时间为12÷， 故答案为：0或4或8或12．

【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等时必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 【考点2】动点之直角三角形问题

【例2】（模型建立）

（1）如图1，等腰直角三角形ABC中，?ACB?90o，CB?CA，直线ED经过点C，过A作AD?ED于点D，过B作BE?ED于点E.求证：?BEC??CDA； （模型应用）