平行四边形
为菱形， ， ， ．
【点睛】本题考查了菱形的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质.掌握全等三角形的判定定理和性质定理、菱形的性质、直角三角形的性质是解题的关键．
12【变式5-2】（2019·湖南中考真题）如图，二次函数y??x?bx?c的图象过原点，与x轴的另一个交
3点为?8,0?
（1）求该二次函数的解析式；
（2）在x轴上方作x轴的平行线y1?m，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D、点C．当矩形ABCD为正方形时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒（t?0）．过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，问：以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）y??128x?x；（2）当矩形ABCD为正方形时，m的值为4；（3）以A、E、F、Q四点为33顶点构成的四边形能为平行四边形，t的值为4或6.
【解析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A，B的坐标，进而可得出点C，D的坐标，再利用正方形的性质可得出关于m的方程，解之即可得出结论；
（3）由（2）可得出点A，B，C，D的坐标，根据点A，C的坐标，利用待定系数法可求出直线AC的解F的坐标，析式，利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征可求出点E，由AQ??EF且以A、E、F、Q四点为顶点的四边形为平行四边形可得出AQ?EF，分0?t?4，4?t?7，7?t?8 三种情况找出AQ，EF的长，由AQ?EF可得出关于t的一元二次方程，解之取其合适的值即可得出结论．
c?0?12?0?，?8，0?代入y??x?bx?c，得：?64【详解】（1）将?0，，
??8b?c?03??38??b?解得?3，
??c?0∴该二次函数的解析式为y??x?（2）当y?m 时，?x?21328x． 3138x?m， 3解得：x1?4?16?3m，x2?4?16?3m，
∴点a的坐标为（4?16?3m，m），点b的坐标为（4?16?3m，m）， ∴点d的坐标为（4?16?3m，0），点c的坐标为（4?16?3m，0）． ∵矩形abcd为正方形，
∴4?16?3m?4?16?3m?m， 解得：m1??16，（舍去），m2?4． ∴当矩形ABCD为正方形时，m的值为4．
（3）以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能为平行四边形．
??4?，点B的坐标为?6，4?，点C的坐标为?6，0?，点D的坐标为?2，0?． 由（2）可知：点A的坐标为?2，设直线AC的解析式为y?kx?a?k?0?，
4?，c?6，0?代入y?kx?a， 将a?2，
得??2k?a?4，
?6k?a?0?k??1，
?a?6解得?∴直线ac的解析式为y??x?6．
814x??t2?t?4 ，y??x?6??t?4 33314∴点E的坐标为（2?t，?t2?t?4），点F的坐标为（2?t，?t?4-t+4）．
33当x?2?t时，y??x?213∵以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形，且AQ??ΕF ， ∴AQ?EF，分三种情况考虑：
①当0?t?4时，如图1所示，AQ?t，EF=?t?∴t??t?132417t?4???t?4???t2?t， 3331327t，解得：t1?0（舍去），t2?4； 3
②当4?t?7时，如图2所示，AQ?t?4，EF=?t?∴t?4??t?132417t?4???t?4???t2?t， 3331327t， 3解得：t3??2（舍去），t4?6；
14177?t?8,AQ?t?4, EF=?t2?t?4???t?4???t2?t，
333317?t?4?t2?t，
33解得t5?5?13（舍去），t6?5?13（舍去）
综上所述，当以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，t的值为4或6
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根
据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用正方形的性质，找出关于m的方程；（3）分
0?t?4，4?t?7，7?t?8三种情况，利用平行四边形的性质找出关于t的一元二次方程． 【变式5-3】．如图，在平面直角坐标系中，?AOB的顶点O是坐标原点，点A坐标为?1,3?，A、B两
点关于直线y?x对称，反比例函数y?k?x?0?图象经过点A，点P是直线xy?x上一动点.
（1）B点的坐标为______；
（2）若点C是反比例函数图象上一点，是否存在这样的点C，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点C坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q是线段OP上一点（O不与O、P重合），当四边形AOBP为菱形时，过点Q分别作直线OA和直线AP的垂线，垂足分别为E、F，当QE?QF?QB的值最小时，求出Q点坐标.
【答案】（1）（3，1）；（2）C1(7?2,7?2)，C2(7?2,7?2)，C3(3,3)；（3）（2，2）. 【解析】（1）根据点（a，b）关于y=x对称的点的坐标为（b，a）直接写出答案即可；
（2）首先求得反比例函数的解析式，然后设P（m，m），分若PC为平行四边形的边和若PC为平行四边形的对角线两种情况分类讨论即可确定点C的坐标；
（3）连接AQ，设AB与PO的交点为D，利用四边形AOBP是菱形，得到S△AOP=S△AOQ+S△APQ，从而得到
111PO?ADPO?AD=AO?QE+AP?QF，确定QE+QF=为定值，从而求解．
AO222k?x?0?图象经过点A（1，3）， x【详解】解：（1）B点的坐标为（3，1）； （2）∵反比例函数y?∴k=1×3=3，
∴反比例函数的解析式为y?点P在直线y=x上，
3， x
相关推荐：
loading