34?a?PEPH4?3，从而求解；（3）当PB?AC时，矩形BPEF面积最小，从而求解.
???PBBG4?a4【详解】（1）
∵过点P作PE?PB且矩形ABCD中，AB∥DC 又∵过点P作PE?PB
∴?EPH??GPB?90o,?GBP??GPB?90o ∴?EHP??PGB?900，?EPH??GBP ∴?PGB:?EHP；
（2）设AG?a，则BG?CH?4?a， ∵矩形ABCD中，AB∥DC ∴△APG∽△CPH
AGGPa3?PH ，即 ??CHPH4?aPH3∴PH??4?a?
4即∴
∵?PGB:?EHP
3?4?a?3；
∴PEPH4???PBBG4?a4PE3?， （3）如图∵
PB4CBgAB12?， AC591210839 ?此时点E与点C重合，PE?PC?PB?，所以最小面积为?455525∴当PB?AC时，矩形BPEF面积最小，此时BP?
【点睛】本题考查相似三角形综合题、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理,解题的关键是学会利用相似三角形的判定和性质列出相应的比例式从而解决问题．
【变式6-2】已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，AB?CD?5，AD?6，BC?12．
（1）求四边形ABCD的面积．
（2）点P是线段AD上的动点，连接BP、CP，求VBCP周长的最小值及此时AP的长．
（3）点P是线段AD上的动点，N、M为边BC上的点，BM?CN?5，连接AN、DM，分别交BP、
CP 于点E、F，记VADG和△BPC重叠部分的面积为S，求S的最值．
【答案】（1）36．（2）Cmin?413?12．3．（3）【解析】
45． 13试题分析：（1）如图1，过A作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，得到四边形AEFD是矩形，由矩形的想知道的EF=AD=6，BE=CF=3，根据勾股定理得到AE?AB2?BE2?52?32?4，于是得到结论；
（2）如图2，作点B关于直线AD的对称点G，连接CG交AD于P，则BC+PB+PC=BC+PG+PC即为△BCP
周长的最小值，根据勾股定理得到CG?BC2?BG2?122?82?413，于是得到△BCP周长的最小
1BC=6，由勾股定理得到AH?AB2?BH2?3，2值为：413+12；根据三角形中位线的性质得到PH=于是得到结论．
（3）过E点作BC的垂线分别交AD、BC于G、H点，过F点作BC的垂线分别交AD、BC于I、J点，过G点作BC的垂线分别交AD、如图所示，设AP?x，则PD?6?x．因为ADPDC，BC于K、L点，所以△AGD∽△NGM，得GL?1；同理可得△AEP∽VNEB，VDFP∽VMFC，得：EH?28，7?xFJ?28，所以S?SVPBC?SVEBN?SVFMC?SVMGN，进而求得答案. 13?x试题解析：（1）如图1，过A作AE?BC于E，DF?BC于D．
则四边形AEFD是矩形．
∴EF?AD?6，BE?CF?3． ∴AE?AB2?BE2?52?32?4．
11(AD?BC)?AE??(6?12)?4?36． 22∴S四ABCD?（2）如图2，作点B关于直线AD的对称点G，
连接CG交AD于P，则BC?PB?PC?BC?PG?PC． 即为VBCP的最小周长． 由（1）知BG?8(?2AE)． 在RtVGBC中，CG?BC2?BG2?122?82?413．
∴VBCP的Cmin?413?12． ∵AD∥BC，BH?HG，
∴PH?∵AH?1BC?6． 2AB2?BH2?3，
∴AP?PH?AH?3．
（3）过E点作BC的垂线分别交AD、BC于G、H点，过F点作BC的垂线分别交AD、BC于I、J点，过G点作BC的垂线分别交AD、BC于K、L点，如图3所示，设AP?x，则PD?6?x．
因为ADPDC，所以△AGD∽△NGM， 所以
GKAD6??，又KL?4，所以GL?1； GLMN2同理可得△AEP∽VNEB，VDFP∽VMFC，
GEAPxIFPD6?x??，??， HEBN7JFMC72828求得：EH?，FJ?，其中0?x?6，
7?x13?x所以
所以S?SVPBC?SVEBN?SVFMC?SVMGN， 即S?11281281?12?4??7???7???2?1 227?x213?x2?25?196．
?(x?3)2?10045． 13因此当x?3时，S有最大值6.4；当x?0或x?6时，S有最小值了
【达标训练】
一、单选题
1．如图，在△ABC中，AB=2，AO=BO，P是直线CO上的一个动点，∠AOC=60°，当△PAB是以BP为
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