∴y=-（x+3）（x-1）=-x2-2x+3， 即抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3； （2）y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4， ∴M（-1，4），
如图1，作点A（0，3）关于x轴的对称点A'（0，-3），连接A'M交x轴于点E，则点E就是使得△AME的周长最小的点，
设直线A′M的解析式为：y=kx+b， 把A'（0，-3）和M（-1，4）代入得：
??k?b＝4， ??b＝?3解得：??k＝?7
?b＝?3∴直线A'M的解析式为：y=-7x-3， 当y=0时，-7x-3=0， x=-
3， 73，0）， 7∴点E（-
（3）如图2，易得直线AB的解析式为：y=x+3，
设点F的坐标为（m，m+3），
①当∠PBF=90°时，过点B作BP⊥AB，交抛物线于点P，此时以BP为直角边的等腰直角三角形有两个，即△BPF1和△BPF2， ∵OA=OB=3，
∴△AOB和△A'OB是等腰直角三角形， ∴∠F1BC=∠BF1P=45°， ∴F1P⊥x轴， ∴P（m，-m-3），
把点P的坐标代入抛物线的解析式y=-x2-2x+3中得： -m-3=-m2-2m+3，
解得：m1=2，m2=-3（舍）， ∴P（2，-5）；
②当∠BF3P=90°时，如图3，
∵∠F3BP=45°，且∠F3BO=45°， ∴点P与C重合， 故P（1，0），
③当∠BPF4=90°时，如图3， ∵∠F4BP=45°，且∠F4BO=45°， ∴点P与C重合， 故P（1，0），
综上所述，点P的坐标为（2，-5）或（1，0）．
【点睛】此题考查了待定系数法求函数的解析式，周长最短问题，等腰直角三角形的性质和判定等知识．此题综合性很强，解题的关键是注意数形结合和分类讨论思想的应用．
2【变式3-3】（2019·广西中考真题）已知抛物线y?mx和直线y??x?b都经过点M??2,4?，点O为
坐标原点，点P为抛物线上的动点，直线y??x?b与x轴、y轴分别交于A、B两点． （1）求m、b的值；
（2）当?PAM是以AM为底边的等腰三角形时，求点P的坐标； （3）满足（2）的条件时，求sin?BOP的值．
【答案】（1）m?1；b?2；（2）点P的坐标为??1,1?或?2,4?；（3）sin?BOP的值为【解析】(1)根据点M的坐标，利用待定系数法可求出m,b的值；
2(2)由(1)可得出抛物线及直线AB的解析式，继而可求出点A的坐标，设点P的坐标为(x,x)，结合点A,M25或．
52的坐标可得出PA,PM的值，再利用等腰三角形的性质可得出关于x的方程，解之即可得出结论；
22(3)过点P作PN?y轴，垂足为点N，由点P的坐标可得出PN,PO的长，再利用正弦的定义即可求出
sin?BOP的值．
【详解】(1)将M??2,4?代入y?mx，得：4?4m，
2∴m?1；
将M??2,4?代入y??x?b，得：4?2?b， ∴b?2；
(2)由(1)得：抛物线的解析式为y=x2，直线AB的解析式为y??x?2，
当y?0时，?x?2?0 ， 解得：x?2，
∴点A的坐标为?2,0?，OA?2，
设点P的坐标为(x,x)，则PA2??2?x??(0?x2)2?x4?x2?4x?4，
22PM2???2?x??(4?x2)2?x4?7x2?4x?20，
∵?PAM是以AM为底边的等腰三角形，
∴PA2?PM2，即x4?x2?4x?4?x4?7x2?4x?20， 整理，得：x2?x?2?0， 解得：x1??1,x2?2， ∴点P的坐标为??1,1?或?2,4?；
(3)过点P作PN?y轴，垂足为点N，如图所示， 当点P的坐标为??1,1?时，PN?1，PO?12?12?∴sin?BOP?22，
PN2； ?PO2当点P的坐标为?2,4?时，PN?2，PO?22?42?25， ∴sin?BOP?PN5， ?PO5∴满足(2)的条件时，sin?BOP的值的值为
25或．
52
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理以及解直角三角形，解题的关键是：(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出m,b的值；(2)利用勾股定理及等腰三角形的性质，找出关于x的方程；(3)通过解直角三角形，
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