┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10分 ∴EX=0×
+100×
+200×
=
．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分
【考点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量的期望与方差．
18．（选编，中档题）（本小题满分12分）
圆O上两点C，D在直径AB的两侧（如图甲），沿直径AB将圆O折起形成一个二面角（如图乙），若∠DOB的平分线交弧
于点G，交弦BD于点E，F为线段BC的中点．
（Ⅰ）证明：平面OGF∥平面CAD；（Ⅱ）若二面角C﹣AB﹣D为直二面角，且AB=2，∠CAB=45°，∠DAB=60°，求直线FG与平面BCD所成角的正弦值．
【解答】证明：
（Ⅰ）∵OF为△ABC的一条中位线，∴OF∥AC，又OF?平面ACD，AC?平面ACD，∴OF∥平面ACD．
又∵OG为∠DOB的平分线，∴OG⊥BD，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BD，
∴OG∥AD，又OG?平面ACD，AD?平面ACD，∴OG∥平面ACD，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分
又∵OG，OF为平面OGF内的两条相交直线，
∴平面OGF∥平面CAD．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅5分
（Ⅱ）∵O为AB的中点，∴CO⊥AB，∵平面CAB⊥平面DAB，平面CAB∩平面DAB=AB，OC?平面ABC，
∴CO⊥平面DAB，又Rt△DAB中，AB=2，∠DAB=60°，∴AD=1，又OG∥AD，OG=1，OA=1， ∴四边形ADGO为菱形，∠AOG=120°，设DG中点为M，则∠AOM=90°，即OM⊥OB， ∴直线OM，OB，OC两两垂直，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7分
以O为原点，以OM，OB，OC为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz． 则B（0，1，0），C（0，0，1），D（∴
=（
，
，
，
，G（=（
，
，F（0，，）．
=（0，﹣1，1），，﹣，0）．
，
设平面BCD的法向量为=（x，y，z），则
∴，令y=1，=（，1，1）．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅
┅9分 ∴
=1，|
|=1，n =
．
∴=．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅11分
∴直线FG与平面BCD所成角的正弦值为12分
．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅
【考点】直线与平面所成的角；平面与平面平行的判定．空间角的计算，空间向量在立体几何中的应用．
19、（原创，中档题）（本小题满分12分）
22sn(n?2) 已知在数列?an?中，a1?1，其前n项和为sn，且an?2sn?1?1??1?（1） 证明??是等差数列，并求数列??的前n项和Pn
?sn??sn?sn2n?求数列的前项和Tn （2） 若bn?2n?1sn2112sn?2，【解答】（1）当n?2时，an?sn?sn?1?化简得sn?1?sn?snsn?1即?ss2sn?1nn?111?1 又?s1a1所以数列??1??为以1为首项，2为公差的等差数列，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分 ?sn?1?2n?1，则Pn=(1?2n?1)?n=n2┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分 sn2（
2
）
由
（
1
）
得
1?2n?1sn所以
sn?12n?1，
sn2n1bn????(2n?1)?2n
2n?1sn(2n?1)(2n?1)111?(?)?(2n?1)?2n┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅22n?12n?1┅┅8分
所以An?11111111n(1???????????)? 2335572n?12n?12n?1Bn?1?2?3?22?5?23?????(2n?3)?2n?1?(2n?1)?2n，① 2Bn?1?22?3?23?5?24?????(2n?3)?2n?(2n?1)?2n?1，②
① ?②
2得
n?，
n?Bn?1??????????2???3?n??2?=
2(3?2n)?2n?1?6
?Tn?An?Bn?n?(2n?3)?2n?1?6┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2n?1┅┅┅┅┅12分
【考点】数列的概念、通项公式及数列求和
20．已知函数f(x)?ax?b1?2lnx，对任意实数x?0，都有f(x)??f()成立. xx（Ⅰ）对任意实数x?1，函数f(x)?0恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）求证：
1112n3?????2ln?，n?2,n?N?. 222n?1423n11（a?b)(x?)?0，即得a?b┅┅┅┅┅┅f(x)??f()?xx【解答】解：（Ⅰ）解：1分
112ax2?2x?af(x)?a（x?）?2lnx，f?(x)?a（1?2）┅┅┅┅┅┅2分 ??2xxxx当a?0时，因为x?1，所以f?(x)?0，f(x)在x??1,???上单调递减， 此时f(2)?f(1)?0与f(x)?0不符，（舍）┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分 当a?0时，令g(x)?ax2?2x?a，??4-4a2
若??0即a?1时，g(x)?0，f?(x)?0，f(x)在x??1,???上单调递增.
f(x)?f(1)?0成立┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分
若??0即0?a?1时，设g(x)的零点为x1，x2?x1?x2?， 则x1?x2?2?0，x1x2?1. 所以有0?x1?1?x2. a则当x??1,x2?时，g(x)?0，f?(x)?0，f(x)在x??1,x2?上单调递减，
f(x)?f(1)?0与f(x)?0不符，（舍）. ┅┅┅┅┅┅┅┅5分
综上：实数a的取值范围是?1,???.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分
（x?）?2lnx?0恒成立. （Ⅱ）由（Ⅱ）知，当a?1时，f(x)?即x?1x1?2lnx?x?1?，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7分 xn2令x?2(n?1,n?N?)
n?111n2n2n2-1n2?2?2ln则有2，即2┅┅┅┅┅┅10分 -2?2ln2????n?1n?1n?1nn?1nn?11111n2-）?2?2ln所以（
?n?1??n?1?2n?1n?1n
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