∴．
不妨以P在双曲线右支为例，当PF2⊥x轴时， 把x=2代入x﹣
2
=1，得y=±3，即|PF2|=3，
此时|PF1|=|PF2|+2=5，则|PF1|+|PF2|=8； 由PF1⊥PF2，得又|PF1|﹣|PF2|=2，① 两边平方得：∴|PF1||PF2|=6，② 联立①②解得：此时|PF1|+|PF2|=
．
）．
， ，
，
∴使△F1PF2为锐角三角形的|PF1|+|PF2|的取值范围是（
故答案为：（）．
14．（4分）（2016?浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°，沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是
．
【解答】解：如图所示，取AC的中点O，∵AB=BC=3，∴BO⊥AC， 在Rt△ACD′中，
作D′E⊥AC，垂足为E，D′E=
==
． ．
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CO=，CE===，
∴EO=CO﹣CE=．
过点B作BF∥BO，作FE∥BO交BF于点F，则EF⊥AC．连接D′F．∠FBD′为直线AC与BD′所成的角．
则四边形BOEF为矩形，∴BF=EO=EF=BO=
=
．
．
则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角，设为θ． 则D′F=∴D′B的最小值=
2
+﹣2×=2．
cosθ=﹣5cosθ≥，cosθ=1时取等号．
∴直线AC与BD′所成角的余弦的最大值=故答案为：
．
==．
15．（4分）（2016?浙江）已知平面向量，，||=1，||=2，则|
|+|
|的最大值是
|+|
|=
．
，
=1，若为平面单位向量，
【解答】解：|
其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和， 当与∴故答案为：
共线时，取得最大值．
=
．
．
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三、解答题 16．（14分）（2016?浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB． （1）证明：A=2B；
（2）若cosB=，求cosC的值．
【解答】（1）证明：∵b+c=2acosB， ∴sinB+sinC=2sinAcosB，
∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB， ∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B），由A，B∈（0，π）， ∴0＜A﹣B＜π，∴B=A﹣B，或B=π﹣（A﹣B），化为A=2B，或A=π（舍去）． ∴A=2B．
（II）解：cosB=，∴sinB=cosA=cos2B=2cosB﹣1=
2
=
，sinA=
．
=
．
+
×
=
．
∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=
17．（15分）（2016?浙江）设数列{an}的前n项和为Sn，已知S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N． （Ⅰ）求通项公式an；
（Ⅱ）求数列{|an﹣n﹣2|}的前n项和．
*
【解答】解：（Ⅰ）∵S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N． ∴a1+a2=4，a2=2S1+1=2a1+1， 解得a1=1，a2=3，
当n≥2时，an+1=2Sn+1，an=2Sn﹣1+1， 两式相减得an+1﹣an=2（Sn﹣Sn﹣1）=2an， 即an+1=3an，当n=1时，a1=1，a2=3， 满足an+1=3an， ∴
=3，则数列{an}是公比q=3的等比数列，
n﹣1
*
则通项公式an=3．
n﹣1
（Ⅱ）an﹣n﹣2=3﹣n﹣2，
n﹣1
设bn=|an﹣n﹣2|=|3﹣n﹣2|，
0
则b1=|3﹣1﹣2|=2，b2=|3﹣2﹣2|=1，
n﹣1
当n≥3时，3﹣n﹣2＞0，
n﹣1
则bn=|an﹣n﹣2|=3﹣n﹣2， 此时数列{|an﹣n﹣2|}的前n项和Tn=3+
﹣
=
，
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则Tn=
=．
18．（15分）（2016?浙江）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3． （Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；
（Ⅱ）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示： ∵平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC； ∴AC⊥平面BCK，BF?平面BCK； ∴BF⊥AC；
又EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2；
∴△BCK为等边三角形，且F为CK的中点； ∴BF⊥CK，且AC∩CK=C； ∴BF⊥平面ACFD；
（Ⅱ）∵BF⊥平面ACFD；
∴∠BDF是直线BD和平面ACFD所成的角； ∵F为CK中点，且DF∥AC；
∴DF为△ACK的中位线，且AC=3； ∴又
； ；
∴在Rt△BFD中，，cos；
即直线BD和平面ACFD所成角的余弦值为．
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