初中数学竞赛专题[配方法]
一、内容提要
1. 配方：这里指的是在代数式恒等变形中，把二次三项式a±2ab+b写成完全平方式
（a±b）. 有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式.
常用的有以下三种：
①由a+b配上2ab， ②由2 ab配上a+b， ③由a±2ab配上b.
2. 运用配方法解题，初中阶段主要有： ① 用完全平方式来因式分解
例如：把x+4 因式分解.
原式＝x+4＋4x－4x=(x+2)－4x＝……
这是由a+b配上2ab. ② 二次根式化简常用公式：写成完全平方式. 例如：化简我们把5－2
5?262
24
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
22
2
a2?a，这就需要把被开方数
.
6写成 2－223＋3
＝(2)2－223＋(3)2 2－3）
2
＝（
这是由2 ab配上a+b.
- 1 -
2
2
.
③ 求代数式的最大或最小值，方法之一是运用实数的平方是非负数，零就是最小值.即∵a≥0， ∴当a=0时， a的值为0是最小值.
例如：求代数式a+2a－2 的最值. ∵a+2a－2= a+2a+1－3=(a+1)－3 当a=－1时, a+2a－2有最小值－3. 这是由a±2ab配上b
2
2
2
2
2
2
2
2
2
④ 有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，有时就需要配方.
例如:：求方程x+y+2x-4y+5=0 的解x, y.
解：方程x+y+2x-4y+1＋4＝0.
配方的可化为 （x+1）+(y－2)=0.
?x?1?0 要使等式成立，必须且只需?.
y?2?0??x??1解得 ?
?y?22
2
2
2
2
2
此外在解二次方程中应用根的判别式，或在证明等式、不等式时，也常要有配方的知识和技巧.
- 2 -
二、例题
例1. 因式分解：ab－a+4ab－b+1.
解：ab－a+4ab－b+1＝ab+2ab+1+(－a+2ab－b) （折项，分组）
＝（ab+1）
（配方）
＝（ab+1+a-b）(ab+1-a+b)
（用平方差公式分解）
本题的关鍵是用折项，分组，树立配方的思想.
例2. 化简下列二次根式：
①
7?432
22
2
2
22
2
2
22
2
2
－(a－b)
2
； ②2?3； ③
10?43?22.
解：化简的关键是把被开方数配方
①
7?43＝4?2?23?3＝(2?3)2 ＝2?3＝2＋3.
②2?3＝
232?2＝
4?232＝
(3?1)22
＝
2(3?1)＝.6?222
10?4(2?1)2③
10?43?22＝
＝＝
10?（42＋1） 6?42＝4?2?22?2＝
- 3 -
(2?2)2=2－2.
=
例3. 求下列代数式的最大或最小值：
① x+5x+1； ② －2x－6x+1 .
2
2
解：①x2
+5x+1＝x
2
+2×55?225`2x+???2??－4+1
＝（x+52
2）－214.
∵（x+52）2
≥0，其中0是最小值.
即当
x=52时，x2
+5x+1有最小值－214.
②－2x2
－6x+1 ＝－2（x2
+3x-12）
=－2(x2
+2×32x+9?9－1442)
＝－2（x+32
2）+112
∵－2（x+3）2
2≤0，其中0是最大值，
∴当
x=－3时，－2x2
－1126x+1
有最大值2.
例4. 解下列方程：
①x4
－x2
+2xy+y2
+1=0 ； ②x2
+2xy+6x+2y2
+4y+10=0.
解：①（x4
－2x2
＋1）＋（x2
+2xy+y2
）=0 . （折项，分组） (x2
－1)2
+(x+y)2
=0. （配方）
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