淮南师范学院2014届本科毕业论文
将nR1(z)的各支点连接起来作割线，就可以分出nR1(z)的单支分支。利用这个原则，再对R2(z)类似分解，如此继续下去，就可以得到nR(z)的最大可单值分支区域。
例1 求
F（z）=(z?1)(z?3)(z?4)(z?5)的可单值分支区域． 解: 由（z-1)(z-3)(z-4)(z-5)=0得
z = 1，3，4，5，即z = 1，3，4，5都是F（z）的支点，可见，在复平面内沿实轴从z =1到z = 5做割线，那么所得到的区域D即是可单值分支区域。为了使割线尽量小，此时只需要考虑仅含两个支点的Jordan 曲线。
设C是一条不通过z=1，3，4，5且仅内含z=1，3的Jordan 曲线，则
?c(z?1)(z?3)(z?4)(z?5)=?carg(z?1)+?carg(z?3）+?carg(z?4）
+?c arg(z?5）= ?2??2?=?4?
故由?cnR(z)=0可得?carg?z?=2nk?(这里k为任意整数，n为自然数)。从而有?cF(z)=0，同理，若取C是仅含有z=3,z=4的Jordan曲线，亦有?cF(z)=0.故连接z=3,z=4的直线段及连接z=1，z=5的直线段为割线所得的区域D即为所求。
例2：讨论多值函数 F(z)=ln(z??)(z??)的可单值分支区域。
z??(z??)(z??)的支点为ａ、?、?、∞.又
z?? 解：易知，多值函数F(z)=lnF(z)=ln(z??)(z??)(z??)(z??)=ln
z??z??+i[arg(z??)?arg(z??)?arg(z??)?2k?] （k?z）
由于在以连接ａ、?以及连接?与∞的两条简单曲线为割线且互不相交的区域内取一条内部包含连接ａ、?的割线为简单闭曲线C，当点z沿着C正方向旋转
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论复变函数中支点的地位与作用
一周时，arg(z??)、arg(z??)各增加2?，而arg(z??)的值没有发生变化，所以多值函数的值发生了变化，所以以连接ａ、?以及连接?与∞的两条简单曲线为割线的区域不是可分单值分支区域。而以连接ａ、?、?、∞的一条简单曲线的区域和以连接ａ、?（或?、?）以及连接ａ（或?）、∞的两条简单曲线为割线的区域内取一条内部包含连接ａ、?、?的割线为简单闭曲线C,当点z沿着C正方向旋转一周时多值函数的值没有发生改变，故该函数可单值分支区域有： （1）以连接ａ、u(或?、?)以及连接a(或?）、∞的两条简单曲线为割线的区域；
（2）以连接ａ、?、?、∞的一条简单曲线的区域。 2.1.2 支点在单值解析分支中的作用
为了分解出一个多值函数的单值解析分支，我们必须割开其平面，此时就需要找去函数的支点，因为找到支点我们才能把割开所求平面。
例如，函数F(z)=nz,它是一个n值函数，显然它的支点为0和?，则沿负实轴割开平面，那么我们就称这样的区域为G,如下图2所示.
y i Z○ x O -i G
图2
定理 若区域D内的任一闭曲线C ,当点z沿曲线C绕行一周后多值函数F(z)的值不变，则其是多值函数F(z)在区域D内可分单值解析分支的充要条
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淮南师范学院2014届本科毕业论文
件[9].
证：(1) 充分性:
在D内任取一点z1,在点z1任意取多值函数F(z)的一个值f(z1)=?设D内任意异于点z1的一点z2,F(z)在点z2处按如下规定取值:用一条完全在D内的连续曲线C1连接点z1与点z2, 当点z1沿连续曲线C1绕行到点z1时,若F(z)的值从?连续变到?, 则f(z2)=?。设曲线C2是连接点z1与点z2的另一条连续曲线,则连续曲线C1与连续曲线C2组成D内的一条连续闭曲线。当点z1沿连续曲线C2到点z2处时，此时F(z)的值从?连续变到?1，那么当点z从点z2沿连续曲线C2到点z1，再沿连续曲线C1变到点z2，也就是说，变点z从点z2沿连续曲线C1和连续曲线C2组成的闭曲线绕行一整周时，F(z)从?1连续变到?后，又连续变到?，换句话说，f(z2)=?仅与点z1和f(z1)=?有关而与连接点z1与点z2的曲线无关（如图3所示）。所以，由条件易知，?-?1+（?-?）=0，即?=?1
综上所述，充分性得证。
y 割线 x1 C1 C2 (f(z1)=α) x O (f(z2)=β、f(z2)=β2) x2 图3
（2）必要性是显然的。证毕。
例3： 已知函数F(z)=ln(1?z2)，求
满足条件:F(0)=2k?i的一个解析分支在z = 2处的值及函数的支点．
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论复变函数中支点的地位与作用
解：由lnP(z)P(z)与arg有相同的支点可知F（z）=ln(1?z2)与arg(1?z2)有Q（z)Q（z)相同的支点，又arg(1?z2)的支点为i,-i,∞,所以F(z)=ln(1?z2)的支点是i?i,∞．
割线可以取从?i到i的射线，也可以取从i到?i的射线，且z = 0，z = 2 不能在割线上，所以取－i到－1，从i到－1，并且取割线为沿着实轴的负方向的直线，此时所割破的平面得单值解析分支区域D。由所给条件及初值定义有
F( 0) =ln1?z2+ iarg(1?z2)z?0=2?i,即arg(1?02)=2?． 故所求的单值解析分支为:
（1+02)=ln1?z2+i?carg(z+i) F（z）=ln(1?z2)=ln1?z2+i?carg（1+z2)+iarg+i?carg(z?i)+2?i
作连接z = 0，z = 2 的Jordan 曲线C(C在x轴上侧),则有
?carg(z?i)=?arctan2，?carg(z?i)=arctan2
y C1 C2 x O C3 C
图4
F（z）=ln(1?z2)=ln1?z2+i(arctanz?arctanz)+2?i=ln5+2?i.
支点在解决多值函数多值性及解析性中占有很重要的地位及意综上所述，
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