1005010333-王艳丽-论复变函数中支点的地位与作用

淮南师范学院2014届本科毕业论文

义。

2.2 有限支点在复变函数中的地位及作用

对数函数F(z)=nz的支点是无穷支点z=∞和一个有限支点z=0.其支割线取所以，在以此割线为边界的复平面z上的区域G内，对数函0到∞的一条射线，

数F(z)=nz能分出多个单值解析分支。但是对于具有多个有限支点的多值函数，

就不可以使用这种方法去判断它能否可以解析单支分支。此时，我们可以先求出该多值函数的一切支点，再适当的连接其支点去割破z平面。 下面我们将利用此方法去解决一些问题。 首先，我们来看：

例4：已知多值函数F（z）=(1?z2)(1?k2z) (00的分支z=i的值。 k解：该函数的表达式可以写成 F（z）=(1?z)(1?kz)e222i11[arg(z?1)?arg(z?1)?arg(z?)?arg(z?)?2k?]2kk（k=0,1） ①

11在z=0处，取arg(z?1)??`arg(z?1)?0`arg(z?)??`arg(z?)?0 ②

kk所以由F（0）=(1?z2)(1?k2z2)ei11[arg(z?1)?arg(z?1)?arg(z?)?arg(z?)?2?]2kk>0知，k=1.

下求z=i的值：取简单曲线C1，连接0和i（如图5所示）

y C2 i x -C1 1 k-1 O 1 1k

图5

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由②知，当点z从z=0沿简单曲线C1连续到z=i时，有

3111arg(i?1)??`arg(i?1)??`arg(i?)???arctank`arg(i?)?arctank ③

44kk故有③可得，多值函数F（z）在z=i的值为 F(i)=(1?z2)(1?k2z2)ei11[arg(z?1)?arg(z?1)?arg(z?)?arg(z?)?2?]2kk=2

值得注意的是，在上面的解法中z?1`z?1在z=0时的幅角初始值可以随意k取，但是当它们在z=i处的幅角值必须依据它在z=0的值来确定。

例5：试证F(z)=3z(1?z)在将z平面适当割开后能分出三支单值解析分支，并求出在点z=2时取负值的那个分支在z=i的值。

解：易知F(z)的支点为0、1、∞.

将z平面先沿正实轴从0到1割开,然后在沿负虚轴割开（如图6）

y Z○ x

O 1 2 G

图6

在这样的割开平面G上，可分出三支单值解析分支。 当变点z从z=2指向z=0与z从z=i指向z=0的夹角为变化为

?，说明此时argz的2??，即?cargz? 22 10

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3?(由题意知取逆时43?3?针方向)，此时说明arg(1?z)的变化为，即?carg(1?z)?，于是F（z）的

44当变点z从z=2指向z=1与z从z=i指向z=1的夹角为幅角连续改变量为

?cargF(z)? 设z=r1e, 1-z=r2ei?111?3?5?[?cargz+?carg(1?z)]?(+)= 332412,则 Fk(z)?3r1(z)r2(z)eii?2?1??2?2k?3，k=0、1、2且G?z

当z=2时，?1(z)=0，?2(z)=?，r1(z)=2，r2(z)=1

又因为当z=2时该多值函数取负值，代入Fk(z)?3r1(z)r2(z)e有当k=1时

i?1??2?2k?3可得只

Fk(2)<0，故有

F（i）=3i1?ieei?i5?12=-62e5?i12

注意：若k的值已经确定，则求多值函数在其他点的值时，需要注意所求的点的幅角就会由在确定k为多少时的已知点的幅角旋转而得到。

由以上两个例子，我们可以得到有关函数

w?f(z)?nA(z??1)?1???(z??m)?m（其中?1，?2，…,?m是互异的且

?1??2????m?N）的以下结论：

(1)多值函数w?f(z)?nA(z??1)?1???(z??m)?m可能的支点为?1，

?2，…,?m和∞；

(2)当且仅当N不能被n整除时，∞才是nA(z??1)?1???(z??m)?m的支点； (3)当且仅当n不可以整除?i（i=1,2,…,m）时，则?i是函数f(z)的支点； (4)若n可以整除?1,?2,??m中若干个数的和，那么?1，?2，…,?m中与之对应的那几个数就可以抱成团且可以连接成割线，即变点z绕着只包含这几个

数并在其内部的简单闭曲线C旋转一整周后，函数的值没有发生变化。像这种

方式抱成的团可能不止一个，那么其余没有入团的点?i就会同点∞连接成一条

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割线。

2.3 无穷远点在复变函数中的地位与作用 2.3.1 有关无穷远点的规定

在第一章中我们已经介绍了∞，那么下面我们将首先介绍有关∞的一些规定，即:

00无意义； (1)运算∞±∞，0·∞,??，(2)∞的幅角、虚部和实部都无意义；

(3)a≠∞时，?a??,a??0,??a?a????；

(4)z平面上每一条直线都通过∞，没有一个半平面包含∞； (5)b≠0(但是可以为∞)时，??b?b????,b0??[2].

以上这五条规定中的(1)、(2)、(3)在数学分析中也有类似的规定，其主要目的是让学者对∞的形态有更全面、更充分、更清晰的认识。

无穷大包括负无穷大和正无穷大两种，在数学分析中无穷大的主要特征是在它自身变化过程中绝对值的无限增大，也可以说是无穷大的绝对值可以大于任意指定的正实数;而无穷小的特征是其绝对值可以小于任意指定的正实数，即一个数在变化过程中其绝对值无限的减小。总而言之，不管是无穷大还是无穷小，在其变化过程中都是指变量的变化趋势。使用它们的原因无非是有助于数学上的发现或发明和使论证更简单清晰易懂。它们的存在使数学变得更加精

彩、更加有趣,同时也使数学家的思想有了更加广阔的拓展空间。

复变函数中的∞和数学分析中的非常类似，都指变量的变化趋势。在复变函数论教材中也有和数学分析中相类似的结论：

如果函数f(z)、g(z)沿着点集E在z0点有极限，那么其和、差、积、商（分

母的极限不等于零）沿着点集E在点z0的极限也是存在的，并且其极限值等于

函数f(z)，g(z)在点z0的极限值的和、差、积、商[10]。

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