淮南师范学院2014届本科毕业论文
一般而言，我们可以把上述结论推广到limf(z)??和limg(z)??的情形。
z?z0z?z0但是，如果把上述结论运用到规定中，即运用到???,0??和??这三种情形中，那么就会出现???,0??和??的值都可以等于任何值的情况。
下面我们首先来验证上述内容： 例6：已知limz?0和limz?0kk??（k为任意有限非零复常数），求lim(z?)的z?0zz?0z值。
k解：因为lim(z?)=limk=k，(k为任意有限非零复常数)，故由此式可以看
z?0zz?0出，0??可以等于任意的值，即0??无意义。
11??和lim(c?)??（c为任意有限非零复常数），试求
z?0z?0zz11lim[(c?)?]的值。 z?0zz11解：因为lim[(c?)?]=limc?c，而c为任意有限非零复常数,所以此式说
z?0zzz?0例7：若lim明?+?可以等于任意数，同理可知，?-?也是可以等于任意的值。因此，规定∞±∞无意义。
例8：虽然∞±∞limlimcz?0zc1??和lim??（c为任意有限非零复常数），但z?0zz?0z1?c 故，由上式可以看出，??可以等于任意的值，且说明??的值z是不可以确定的。所以规定??无意义。
解：由limcz?0（c为任意有限非零复常数）和limz?0，可知limczz?c
z?0z?0z?0故，由此可以看出00也是可以等于任意的值，也是无法给予确定的。因此，规定了00无意义。
又由第一章中无穷远点的引入可以看出，无穷远点可看作为一个以正无穷大+∞为半径、以原点O为圆心的圆周，如果我们把这个圆周作作一个点，那么它就是无穷远点。
综上所述，我们可以看出复变函数论中的无穷远点( ∞)既包括???ai和
a??i以及a??i和??ai（a为实常数，可以是-∞也可以是+∞），它还包括数
13
论复变函数中支点的地位与作用
学分析中的负无穷（-∞）、正无穷（+∞）等。因此，∞的实部、虚部和它的幅角都是不能被确定的，换句话说，∞的幅角以及它的实部、虚部全部都是无法确定，尽管如此它们实际上还是存在的。所以复变函数论中的无穷远点可以视为实部或虚部至少有一个为无穷大的数。 2.3.2 无穷远点在解析函数奇点中的作用及地位
在上一节中，我们已经介绍了无穷远点是一个假想的点，且无穷远点首次被法国数学家笛沙格在《试图处理圆锥与平面相交情况的计划草案》一书中将无穷远点定义成为两平行线的公共交点。
我们规定：??1. 0奇点的定义：若函数f(z )在点z0不解析, 但该函数在点z0的任一邻域内总
有复变函数f(z)的解析点, 则称点z0为f(z)的奇点[11]。
奇点包括孤立奇点和非孤立奇点两种。
例9：函数f(z)=e?e在复平面上只有奇点z=0，在其去心邻域,0?z???内的洛郎展式为
zn?11e?e=2+?+??n
n?1n!n?1n!zz?z1z1z在上节中我们已经知道了∞点在函数f(z)中总是无意义的，所以点∞总是函数f(z)的奇点。
定义：设复复函数f(z)在无穷远点∞的去心邻域
N?{?}:???z?r?0
内解析，则称点∞为函数f(z)的一个孤立点[12]。
当然在这个定义里我们需要注意的就是∞是任意一个解析函数f(z)的奇点，它可以是孤立奇点，也可以是非孤立奇点。
例10.判定函数F（z）=
1?cosz的奇点以及其类别。 2z 14
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解：因为此函数是个多值函数，故其奇点是支点。显然，该函数有两个奇点，即z=0,z=∞
①在z=0的空心邻域内可将该函数展开为
1?cosz1z2z4=???? 2z2!4!6!由此式可以看出，该展开式的主要部分为0，故z=0为此函数的可去奇点。 ②令z=
111111122,则f(z)=f()=z1-z1cos,它在f()=???? z1z1z12!4!z146!z16z1它的主要部分有无穷多项，所以z=∞是函数f(z)的本性奇点。 2.4 支点在留数中的作用与地位
定理1（留数定理）[13]：设函数f ( z )在周线或复周线C所围的区域D内，除有限个孤立奇点z1，z2,?,zn外解析, 且在闭域D?D?C上除点z1，
z2,?,zn外连续, 则（“大范围”积分）
??Cf(z)dz?2?i?Resf(z)
k?1z?zkn证：取以充分小的?k为半径以点zk为圆心画圆?k：z?zk??k（k=1,2,…,n），且这些小圆周的内部全部都含在D中，并使这些圆周彼此互不相交，如下图7所示，故有复周线的柯西积分原理可得
?故由留数的定义，可得
nCf(z)dz???f(z)dz
k?1?kn??kf(z)dz?2?iResf(z)
z?zkn代入?f(z)dz???f(z)dz得，?f(z)dz?2?i?Resf(z)
Ck?1?kCk?1z?zk 15
论复变函数中支点的地位与作用
y l zLLzZLx 图7
2.4.1无穷远点∞留数的计算方法
首先，我们先看函数f(z)在点∞处的留数的计算公式： 定理1[14]：设∞是f(z)的m级极点，则
z(m?2)f(m?1)(z) Resf(z)?(?1)lim
z??z??(m?1)!m证明：当无穷远点∞是函数f(z)的m级极点时，则存在R>0使
f(z)??c?nc?n??c0?c1z???cmzm,R?z??? nzn?2z??两端求导m+1次，则有
f(m?1)(?1)m?1n(n?1)?(n?m)c?n(?1)m?1(m?1)!c?1(z)???, n?m?1m?2zzn?2??或
??n(n?1)?(n?m)c?n(?1)mzm?2fm?2(z) ????c?1 n?1(m?1)!(m?1)!zn?2所以由lim?n(n?1)?(n?m)c?n?0可得 n?1z??(m?1)!zn?2?? 16
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