淮南师范学院2014届本科毕业论文
2?所以有 ???0lnx? dx??222(1?x)??0lnx? dx??224(1?x)（4）上的z?xei0(x?0),于是有
??lnzlnxdz?dx lim??0(1?x2)2r?0AB(1?z2)2R??例14：计算积分 ?解：辅助函数
f(z)?3(1?z)(1?z)2
它在z平面上是w?nP(z)型的多值函数，显然函数f(z)的支点为+1及-1.
当动点z沿图9示的闭曲线（+1以及-1在其内部）按逆时针方向旋转一周，
1dx(1?x)(1?x)2?13
?1?arg(1?z)同时增加2?，然而
argf(z)?2?1??2 3也增加2?。这表示函数f(z)的值没有发生变化，所以∞不是函数f(z)的支点。 取从-1到+1为支割线,则函数f(z)在其外部可以分出三个单值解析分
支。
21
论复变函数中支点的地位与作用
y -1 1 x
图9
现取在上图中所表示的那条复周线??CR?Cr??AB?B?A?,且取在[-1,+1]的上岸AB上取正值的那个分支，则当动点z在[-1,1]上岸AB上，argf(z)?0，即
f(z)?3(1?z)(1?z)2>0
?2?当动点z从点B沿着Cr到点B?,函数f(z)的幅角增加??，那么在[-1,1]
32下岸B?A?上，argf(z)???，即
3f(z)?e故有
?2?i33(1?z)(1?z)2
???CR1dz??1?z?rf(z)dz(1?z1?z)213 ??1r131?z?rdz =2?r1r13?2?r
23
?Cr?1dz??1?z?rf(z)dz(1?z1?z)213?2?r
13故当r?0时，上面两个积分均趋于零。
22
淮南师范学院2014届本科毕业论文
?当动点z从上岸AB变化到（1，+∞）上时，即动点z从上岸的点B沿着Cr绕1
旋转到点e时，1-z的幅角值发生了变化，即1-z的幅角值减少了?，但是1+z的幅角值却为发生任何变化。所以，函数f(z)的幅角值减少了+∞）上有
f(z)?31?z1?ze2?i32?。那么在线段（1，3?
?i3?即 f(z)?3(1?z)(1?z)e故有
Resz??2
11?Res[]??Res[2z??t?03f(z)(1?z)(1?z)3111(1?)(1?)2tt?3i?11]??Res[]22t?03tt?(t?1)(t?1) =?13(t?1)(t?1)2t?0??31?1??e1?i3???e
所以
?1dx(1?x)(1?x)2?13=
?sin?3?2?3
结论
根据本课题的研究过程中对有限点、无穷远点、多值函数、留数等的思考，发现有限点、无穷远点、解析函数、留数等在复变函数中占有非常重要的地位，它们既是重点也是难点。正确理解有关无穷远点的上述规定及支点的相关理论知识对学习理解无穷远点的领域、计算无穷远点的留数等会有很大的帮助，只有正确的多值函数的单值解析分支问题才能在实际应用中得心应手，才能解决一些在实分析中无法解决的问题。
参考文献 ：
[1] 钟玉泉.复变函数学习指导[M]. 北京：高等教育出版社，1996. [2] 钟玉泉.复变函数论[M]. 北京：高等教育出版社，2004.
[3] 马忠军，王祝梅，黄文韬.复变函数中的无穷远点[J].广西桂林电子科技大
学学报，2007,27(4)：318-319.
23
论复变函数中支点的地位与作用
[4] 赵得春.关于函数支点的讨论[J].青海师范学报（自然科学报），
1981,(1):1-3.
[5] 宫德林,马天国.关于多值函数的支点与单支分支[J].扬州师院学报（自然科
学报），1986,(2):58-60.
[6] 严镇军.复变函数(第二版)[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2010. [7] 谭小江，伍胜键.复变函数简明教程[M].北京：北京大学出版社，2006. [8] 李成录.复变函数的多值性问题探析[J].哈尔滨师范大学自然科学学报，
2011,27(6):37-40
[9] 吴光润.关于多值函数的支点与分支[J].荆州师专学报,1982,(2):68-74. [10] 陈先琦，宋忠生.在关于初等多值解析函数支点与支割线的探讨[J].山东建
筑工程学院报，1995,10(6):67 -70.
[11] 马骥良.关于多值解析函数支点的判定条件[J].东北师范大学（自然科学
报），1989,(4):21-24.
[12] (苏)A N马库雪维奇.解析函数论简明教程[M].北京：高等教育出版社，1958. [13] 普里瓦洛夫.复变函数引论[M].北京：人民教育出版社，1978. [14] 庄圻泰,张南岳.复变函数[M]. 北京：北京大学出版社，1984. [15] 莫叶. 复变函数论[M].济南：山东科学技术出版社，1983.
24
相关推荐：
loading