学院毕业论文
解 因为四种预防措施都是互不相干的，这样，可根据事件的独立性性质及加法公式进行计算.采用两种预防措施花费不超过120万元。由表可知，联合A、C两种措施，其概率为:
X1?1?X?A?X?C??1??1?X?A???1?X?C???1??1?0.9??1?0.7??0.97.
采用三种预防措施花费不超过120万元。故只能联合B,C,D三种预防措施，此时，疾病不传染的概率为：
X2?1?X?B?X?C?X?D??1??1?0.8??1?0.7??1?0.6??1?0.024?0.976
综上可知，在总的花费不超过120万元的前提下，联合B,C,D三种措施可使疾病不传染的概率最大，其概率为0.976。
例11.设由自动线加工的某种零件的内径X（单位：mm）服从N??,1?，内径小于10mm或大于12mm为不合格，其余为合格，销售合格品获利，销售不合格品亏损，已知销售利润T(单位：元）与销售零件的内径X有如下关系：
??10,X?10?T??200,10?X?12
??50X?12?问内径?取何值时，销售一个零件的平均利润最大？ 解 销售一个零件的平均利润为
ET??10P?X??10??200P?X?200??50P?X??50?
??10??10????200???12??????10?????50?1???12????
?250??12????210??10????50
从而有
dET??250??12????210??10??? d?其中，??x?为标准正态分布的密度函数，于是有
?250e2??12????22?210e2??10????22?0
2?12???即 ln25?22?10????ln21?
2125?10.913mm 得 ??11?ln221?12???210?10?????10????dET??250(12??)??22由于????0 ee2??d?2?2?????10.913222 - 9 -
概率统计在生活中的应用
所以，当??10.913mm时，销售一个零件的平均利润最大。
例12.已知在平安人寿保险公司有10000个人买了保险,在参保的一年内参保人死亡的概率为0.006 ,每人的保险费用为12元/年,若参保人死亡则其家属可以领取1000元保险金, （1）这年保险公司不盈利的概率是多少？
（2）保险公司一年的利润大于40000元的概率是多少？ 解.设X为一年内参保人死亡的人数，则由题可知
X~B?10000,0.006?
从而 E?X??np?60
D?X??np?1?p??59.64
（1）当X?120时就要亏本所以要求的是P?X?120?由德莫佛-拉普拉斯定理得
?X?60120?60?P?X?120??1?P?X?120??1?P????1???7.769??0
59.64??59.64即保险公司基本不会亏本的。
（2）利润大于40000元，即支出要少于120000-40000=80000元
80000?80?人? 因此死亡人数不能多于
1000设利润不少于40000元的概率为p1，则
X?6080?60??0?60p1?P?0?X?80??P????
59.6459.64??59.64???2.5898?????7.769??0.9952
3.4在预算及检测中的应用
例13.某公司准备购买一批牛奶，公司怀疑生产商在牛奶中掺入水以牟利。通过测定牛奶的冰点，可以检测出牛奶是否掺水。天然的牛奶的冰点温度近似服从正态分布，均值?0??0.5450C,标准差??0.0080C，牛奶掺水可使冰点温度升高而接近于水的冰点温度，测得生厂商提交的五批牛奶的冰点温度，其均值为x??0.5350C，问是否可以认为生厂商在牛奶中掺水？a?0.05
解 按题意需检验假设
H0:???0??0.545即设牛奶未掺水 H1:???0即设牛奶已掺水 即为 z?现在z?x??0?z0.05?1.645
??n?0.535?(?0.545)?2.7951?1.645 z的值落在拒绝域中，所以我们在显著性水平
0.008?5a?0.05下拒绝H0,即认为牛奶商在牛奶中掺了水。
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例14. 汽车运输化肥，设每袋化肥重量A（公斤）服从 N?50,2.52?,问最多装多少袋水泥使总重量超过2000的概率不大于0.05.
解 设最多能装运n袋水泥各袋水泥的重量分别为A1,A2,?,An，则
Xi~N?50,2.52?,i?1,2,?,n,
故汽车所装运化肥的总重量为
W?A1?A2???An
按题意n需满足
P?W?2000??0.05
对于像这样的实际问题,认为A1,A2,?,An相互独立是适应的，此时
E?W??50n,D?W??2.52n
于是W~N?50n,2.52n?
?2000?50n?W?2000??1???从而 P??
?2.5n?即n应满足
?2000?50n?????0.95???1.645? ?2.5n?故应有 解得
n?6.2836
2000?50n?1.645
2.5n从而n?39.483
故n最多取39，即该汽车至多能装运39袋化肥，能使超过2000公斤的概率不大于0.05.
例15. 某公司准备招聘300名职工，其中正式工280人，临时工20；报考的人数为1657人，考试满分为400分，考试后得知，考试平均成绩??166分，360分以上的考生31人，某考生A得256分，问其能否被录取？能否被聘为正式工？
解 首先预测最低分数线，设最低分数线为x1，考生成绩为?，则对一次成功的考生来说，?服从正态分布，由题意可知：?~N?166,?2?
31??166~N?0,1?，因为高于360分的考生的频率是这样??，故
1657?360?166?31?P???360??P??? ???1657??360?166?31??0.981 因此 P?????1??1657??查表可知
360?166?2.08即??93 ?300故?~N?166,932?因为最低分数线的确定应使录取考生的频率等于，即
1657
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概率统计在生活中的应用
x?166?300?x1?166?300?P???1?所以P???1??0.819 ???93165793?1657???x?166?0.91，由此求得x1?251，也就是说，最低分数线是251分。 查表得193再次预测A的考试名次，在??256分时，由查表可知：
x?166?256?166???P????P??????0.853
93?93???256?166??这样 P?????1?0.8315?0.1685
93??这表明考试成绩高于256分的频率是0.1685，也就是成绩高于考生A的人数大约占总考生
16.85%，所以名次排在考生A之前的考生人数约有1657?16.85%?280
即考生A大约排在281名。
由于一共招收300名故考生A可以被录取，但正式工只招280名，而281?280，故考生被录取为临时工的概率比较大。
3.5在相遇问题中的应用
例16. 两位同学约定一起去学校，他们决定在上午6：00到7：00之间到一家超市门口见面，先到的人要等没到的人15分钟，若没到的人仍不到则先走。那么他们能够相遇的概率是多少？假设两同学到达超市的时间是随机的而且都是在约定的一小时之内。 解：若用x和y表示上午6：00以后甲乙到达目的地的时间，那么可以用有序对(x,y)来表示到达的时间，其中0 A的几何度量S阴602?4527P(A)?????0.4375。 2B的几何度量S正1660结果表明；按此规则相会，两人能够会面的概率不超过0.5. x-y=-15 x-y=15 图3-2 - 12 -
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