一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题（含答案） 

学习必备 欢迎下载

9.已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)＞－2x的解集为(1，3). (1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的实根，求f(x)的解析式； (2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围. 解：(1)∵f(x)＋2x＞0的解集为(1，3)， ∴f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a＜0. 因而f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x ＝ax2－(2＋4a)x＋3a.①

由方程f(x)＋6a＝0得ax2－(2＋4a)x＋9a＝0.② 因为方程②有两个相等的实根，所以 Δ＝[－(2＋4a)]2－4a·9a＝0，

1即5a2－4a－1＝0，解得a＝1或a＝－.

5

1

由于a＜0，舍去a＝1，将a＝－代入①得f(x)的解析式

5163

f(x)＝－x2－x－.

555

1＋2a?a＋4a＋1

(2)由f(x)＝ax－2(1＋2a)x＋3a＝a?x－－，

aa??

2

2

2

a2＋4a＋1

及a＜0，可得f(x)的最大值为－.

a

a＋4a＋1??－＞0，

a由?解得a＜－2－3或－2＋3＜a＜0.

??a＜0，故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是 (－∞，－2－3)∪(－2＋3，0).

a（x－1）10.解关于x的不等式：＞1(a＞0).

x－2解：(x－2)[(a－1)x＋2－a]＞0，

2

?a－2?＜0，

当a＜1时有(x－2)?x－??a－1?

学习必备 欢迎下载

若

a－2a－2

＞2，即0＜a＜1时，解集为{x|2＜x＜}； a－1a－1a－2

＝2，即a＝0时，解集为?； a－1

若

a－2a－2若＜2，即a＜0时，解集为{x|＜x＜2}. a－1a－1