第二节 匀变速直线运动的规律及应用
一、匀变速直线运动的基本规律
1．速度与时间的关系式：v＝v0＋at． 12．位移与时间的关系式：x＝v0t＋at2．
223．位移与速度的关系式：v2－v0＝2ax． 二、匀变速直线运动的推论
v0＋v
1．平均速度公式：v＝vt＝．
222．位移差公式：Δx＝x2－x1＝x3－x2＝?＝xn－xn－1＝aT2．
可以推广到xm－xn＝(m－n)aT2.
3．初速度为零的匀加速直线运动比例式
(1)1T末，2T末，3T末??瞬时速度之比为： v1∶v2∶v3∶?∶vn＝1∶2∶3∶?∶n． (2)1T内，2T内，3T内??位移之比为： x1∶x2∶x3∶?∶xn＝1∶22∶32∶?∶n2．
(3)第一个T内，第二个T内，第三个T内??位移之比为： xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶?∶xn＝1∶3∶5∶?∶(2n－1)． (4)通过连续相等的位移所用时间之比为：
t1∶t2∶t3∶?∶tn＝1∶(2－1)∶(3－2)∶?∶(n－n－1)． 三、自由落体运动和竖直上抛运动的规律 1．自由落体运动规律 (1)速度公式：v＝gt． 1(2)位移公式：h＝gt2．
2(3)速度—位移关系式：v2＝2gh． 2．竖直上抛运动规律 (1)速度公式：v＝v0－gt． 1(2)位移公式：h＝v0t－gt2．
2(3)速度—位移关系式：v2－v20＝－2gh. v20(4)上升的最大高度：h＝．
2gv0(5)上升到最大高度用时：t＝．
g,1.(单选)一辆以20 m/s的速度行驶的汽车，突然采取急刹车，加速度大小为8 m/s2，汽车在刹车后的3秒内的位移和3秒时的速度分别为( )
A．24 m，4 m/s
B．25 m，4 m/s C．24 m，－4 m/s D．25 m，0
2．(多选)做匀减速直线运动的质点，它的加速度大小为a，初速度大小为v0，经过时间t速度减小到零，则它在这段时间内的位移大小可用下列哪些式子表示( )
1
A．v0t＋at2
2v0tC. 2
B．v0t 1D.at2 2
3－1.(单选)某人估测一竖直枯井深度，从井口静止释放一石头并开始计时，经2 s听到石头落底声．由此可知井深约为(不计声音传播时间，重力加速度g取10 m/s2)( )
A．10 m B．20 m C．30 m D．40 m 3－2.(单选)(创新题)2012年8月12日，在第30届伦敦奥运会田径项目女子跳高决赛中，俄罗斯选手奇切洛娃夺得冠军．奇切洛娃的重心离地面高1.2 m，起跳后身体横着越过了1.96 m的高度．据此可估算出她起跳时的竖直速度大约为(取g＝10 m/s2)( )
A．2 m/s B．4 m/s C．6 m/s D．8 m/s 答案：1.D 2.CD 3－1.B 3－2.B
匀变速直线运动规律的应用
1
1．速度时间公式v＝v0＋at、位移时间公式x＝v0t＋at2、位移速度公式v2－v20＝2ax，2是匀变速直线运动的三个基本公式，是解决匀变速直线运动的基石．
2．匀变速直线运动的基本公式均是矢量式，应用时要注意各物理量的符号，一般规定初速度的方向为正方向，当v0＝0时，一般以a的方向为正方向．
甲、乙两辆汽车都从静止出发做加速直线运动，加速度方向一直不变．在第一段
时间间隔内，两辆汽车的加速度大小不变，汽车乙的加速度大小是甲的两倍；在接下来的相同时间间隔内，汽车甲的加速度大小增加为原来的两倍，汽车乙的加速度大小减小为原来的一半．求甲、乙两车各自在这两段时间间隔内走过的总路程之比．
【审题突破】 (1)每辆汽车在整个运动过程中加速度都发生了改变，要采取分段分析还是整段分析？
(2)分段处的什么是连接两段的桥梁？ [解析] 汽车运动草图如图所示：
设汽车甲在第一段时间间隔末(时刻t0)的速度为v，第一段时间间隔内行驶的路程为x1，加速度为a；在第二段时间间隔内行驶的路程为x2.由运动学公式得v＝at0
1x1＝at2
20
1
x2＝vt0＋(2a)t20 2
设汽车乙在时刻t0的速度为v′，在第一、二段时间间隔内行驶的路程分别为x′1、x′2. 同样有v′＝(2a)t0 1
x′1＝(2a)t20 21x′2＝v′t0＋at2
20
设甲、乙两车行驶的总路程分别为x、x′，则有 x＝x1＋x2 x′＝x′1＋x′2
联立以上各式解得，甲、乙两车各自行驶的总路程之比为 x5＝. x′75
[答案]
7
【总结提升】
1．求解匀变速直线运动的一般步骤：
2．应注意的问题
(1)如果一个物体的运动包含几个阶段，就要分段分析，各段交接处的速度往往是联系各段的纽带．
(2)对于刹车类问题，当车速度为零时，停止运动，其加速度也突变为零．求解此类问题应先判断车停下所用时间，再选择合适公式求解．
(3)物体先做匀减速直线运动，速度减为零后又反向做匀加速直线运动，全程加速度不变，可以将全程看做匀减速直线运动，应用基本公式求解．
1．一物体在与初速度方向相反的恒力作用下做匀减速直线运动，v0＝20 m/s，加速度大小为a＝5 m/s2，求：
(1)物体经多少秒后回到出发点？
(2)由开始运动算起，求6 s末物体的速度．
解析：由于物体连续做匀变速直线运动，故可以直接应用匀变速运动公式．以v0的方向为正方向．
1
(1)设经时间t回到出发点，此过程中位移x＝0，代入公式x＝v0t＋at2，并将a＝－5 m/s2
2代入，得
2v02×20t＝－＝－ s＝8 s.
a－5
(2)由公式v＝v0＋at知6 s末物体的速度
v＝v0＋at＝20 m/s＋(－5)×6 m/s＝－10 m/s.
负号表示此时物体的速度方向与初速度方向相反． 答案：(1)8 s (2)10 m/s，方向与初速度方向相反
匀变速直线运动推论的应用
(1)推论公式主要是指：①v＝vt＝
2
v0＋vt
，②Δx＝aT2，①②式都是矢量式，在应用时要2
注意v0与vt、Δx与a的方向关系．
(2)①式常与x＝v·t结合使用，而②式中T表示等时间隔，而不是运动时间．
有一质点在连续12 s内做匀加速直线运动，在第一个4 s内位移为24 m，在最后4 s内位移为56 m，求质点的加速度．
[解析] 法一：运用运动学基本公式求解
1
根据x＝v0t＋at2，有
21
24＝v0×4＋a·42①
21
56＝v1×4＋a·42②
2
又由v＝v0＋at，有v1＝v0＋a×8③ 以上三式联立可解得a＝1 m/s2. 法二：利用平均速度公式求解
由于已知量有x及t，平均速度v可求，故想到利用平均速度公式v＝vt，第一个4 s内
2
24
平均速度等于中间时刻2 s时的速度，v2＝ m/s＝6 m/s，
4
最后4 s内平均速度等于中间时刻10 s时的速度， v10＝
56
m/s＝14 m/s 4
v10－v214－6
所以a＝＝ m/s2＝1 m/s2.
t10－t210－2
法三：利用Δx＝aT2求解
本题出现了三个连续相等时间间隔(4 s)，故想到选用公式Δx＝aT2，x2－x1＝aT2，x3－x2
＝aT2，
所以x3－x1＝2aT2，
x3－x156－2422a＝2＝2 m/s＝1 m/s. 2T2×4
[答案] 1 m/s2
【点评】 一道题可能有多种不同的解题方法，但采用不同的方法，繁简程度不同，因此在处理问题时，要分析题目特点，判断利用哪种方法更合适．
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