第五届中国东南地区高中数学奥林匹克竞赛试题（缺答案）

第五届中国东南地区数学奥林匹克

1．已知集合S?{1,2,3,?,3n},n是正整数，T是S的子集，满足：对任意的x,y,z?T（其

中x,y,z可以相同）都有x?y?z?T，求所有这种集合T的元素个数的最大值。

2．设数列{an}满足:a1?1,an?1?2an?n?(1?2n),n?1,2,3,?.试求通项an的表达式。

3．在△ABC中，BC>AB，BD平分∠ABC交AC于D，如图，CP垂直BD，垂足为P，AQ垂直

BP，Q为垂足。M是AC中点，E是BC中点。若△PQM的外接圆O与AC的另一个交点为H。求证：O、H、E、M四点共圆。

4．设正整数m,n?2,对于任一个n元整数集A?{a1,a2,?,an}，取每一对不同的数ai、

2个差按从小到大顺序排成一个数列，称为集合A的“衍aj(j?i),作差aj?ai,由这Cn生数列”，记为A。衍生数列A中能被m整除的数的个数记为A(m).

证明：对于任一正整数m?2,n元整数集A?{a1,a2,?,an}及集合B?{1,2,?,n}所对

应的“衍生数列” A及B,满足不等式A(m)?B(m).

5．求出最大的正实数?,使得对于满足x2?y2?z2?1的任何数x,y,z成立不等式； |?xy?yz|?

6．如下左图，△ABC的内切圆I分别切BC，AC于点M，N，点E，F分别为边AB，AC的中点，

D是直线EF与BI的交点。证明：M，N，D三点共线。

7．杰克（Jack）船长与他的海盗们掠夺到6个珍宝箱A1，A2，A3，A4，A5，A6，其中Ai内有

金币ai枚，i?1,2,3,4,5,6,诸ai互不相等。海盗们设计了一种箱子的布局图（如上右图），并推派一人和船长轮流拿珍宝箱。每次可任意拿走不和两个或两个以上的箱子相连的整个箱子。如果船长最后所取得的金币不少于海盗们所取得的金币，那么船长获胜。 问：若船长先拿，他是否有适当的取法保证获胜？

8．设n为正整数，f(n)表示满足以下条件的n位数(称为波形数)a1a2?an个数； （i）每一位数码ai?{1,2,3,4},且ai?ai?1,i?1,2,?； （ii）当n?3时,ai?ai?1与ai?1?ai?2的符号相反,i?1,2,?.

5. 2 （1）求f(10)的值；

)被13除得的余数。 （2）确定f(2008