2007年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷I) 数学（文科）试卷

20．解：

（Ⅰ）f?(x)?6x2?6ax?3b，

因为函数f（x）在x=1及x=2取得极值，则有f?(1)?0，f?(2)?0。

?6?6a?3b?0，即?

24?12a?3b?0．?解得a=－3，b=4。

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f(x)?2x3?9x2?12x?8c，

f?(x)?6x2?18x?12?6(x?1)(x?2)。

当x∈（0，1）时，f?(x)?0；

当x∈（1，2）时，f?(x)?0；

当x∈（2，3）时，f?(x)?0。

所以，当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=5+8c，又f（0）=8c，f（3）=9+8c。 则当x∈[0，3]时，f（x）的最大值为f（3）=9+8c。 因为对于任意的x∈[0，3]，有f（x）9，

2?1)?(9，??)。 因此c的取值范围为(??， 21．解：

4??1?2d?q?21，（Ⅰ）设{an}的公差为d，{ bn }的公比为q，则依题意有q>0且? 2??1?4d?q?13，解得d=2，q=2。

所以an?1?(n?1)d?2n?1，

bn?qn?1?2n?1。

（Ⅱ）

an2n?1?n?1。 bn2352n?32n?1?????n?1，① 12n?2222252n?32n?1???n?3?n?2，② 2222222n?1?2???n?2?n?1， 2222Sn?1?2Sn?2?3?②－①得Sn?2?2?1?2n?1?11?2?2??1??2???n?2??n?1

2?2?221n?12n?1?2?2?2?n?1

121?21??6? 22．证明

2n?3。 2n?1y （Ⅰ）椭圆的半焦距c?3?2?1，

由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，

22故x0?y0?1，

A P B F1OD F2 C x

2222x0y0x0y01?≤???1。 所以，32222x2y2??1，并化简得（Ⅱ）（ⅰ）当BC的斜率k存在且k?0时，BC的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程32(3k2?2)x2?6k2x?3k2?6?0。

设B（x1，y1），D（x2，y2）则

6k23k2?6x1?x2??2，x1x2?，

3k?23k2?2

43(k2?1)BD?1?k?x1?x2?(1?k)???(x2?x2)?4x1x2???3k2?2；

222因为AC与BC相交于点p，且AC的斜率为?1。 k?1?43?2?1?43(k2?1)k??所以，AC?。 ?212k?33?2?2k四边形ABCD的面积

124(k2?1)2??(k2?1)296S??BD?AC?≥?。

2(3k2?2)(2k2?3)?(3k2?2)?(2k2?3)?225??2??当k2=1时，上式取等号。

（ⅱ）当BC的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4。 综上，四边形ABCD的面积的最小值为

96。 25