1．设x0为可导函数f(x)的极值点，则下列说法正确的是( ) A．必有f′(x0)＝0 B．f′(x0)不存在
C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在 D．f′(x0)存在但可能不为0 答案：A
32
2．函数f(x)＝x＋ax＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a＝( ) A．2 B．3 C．4 D．5
2
解析：选D.f′(x)＝3x＋2ax＋3， ∵f(x)在x＝－3处取得极值， ∴f′(－3)＝0，即27－6a＋3＝0 ∴a＝5.
3
3．y＝x－6x＋a的极大值为________． 解析：y′＝3x2－6＝0，得x＝±2.当x<－2或x>2时，y′>0；当－2 1 4．求函数f(x)＝x＋的极值． x解：函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)， 1x＋1x－1 f′(x)＝1－2＝， 2 xx令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1. 当x变化时，y′，y的变化情况如下表： (－∞，－(0,x －1 (－1,0) 1 (1，＋∞) 1) 1) y′ ＋ 0 － － 0 ＋ y ↗ 极大值－2 ↘ ↘ 极小值2 ↗ 因此，当x＝－1时，y有极大值，且y极大值＝f(－1)＝－2，当x＝1时，y有极小值，且y极小值＝f(1)＝2. 一、选择题 1．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取极值”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 32 解析：选B.对于f(x)＝x，f′(x)＝3x，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．故选B. 2．下列函数存在极值的是( ) 1xA．y＝ B．y＝x－e x32 C．y＝x＋x＋2x－3 D．y＝x 3 1 解析：选B.A中f′(x)＝－2，令f′(x)＝0无解，∴A中函数无极值．B中f′(x)＝1－ xe，令f′(x)＝0可得x＝0.当x<0时，f′(x)>0，当x>0时， f′(x)<0.∴y＝f(x)在x＝0处取极大值，f(0)＝－1. 2 C中f′(x)＝3x＋2x＋2，Δ＝4－24＝－20<0. ∴y＝f(x)无极值．D也无极值．故选B. 3．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有( ) x A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：选A.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如题图所示，函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个． 1312 4．函数f(x)＝－x＋x＋2x取极小值时，x的值是( ) 32 A．2 B．2，－1 C．－1 D．－3 解析： 选C.f′(x)＝－x＋x＋2＝－(x－2)·(x＋1)， ∵在x＝－1的附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0， ∴x＝－1时取极小值． 2 5．已知函数y＝x－ln(1＋x)，则y的极值情况是( ) A．有极小值 B．有极大值 C．既有极大值又有极小值 D．无极值 2 2xx－1 解析：选D.f′(x)＝1－≥0，∴函数f(x)在定义域R上为增函数，故选2＝2 1＋x1＋xD. 322 6．已知函数f(x)＝x－ax－bx＋a在x＝1处有极值10，则a、b的值为( ) A．a＝－4，b＝11 B．a＝－4，b＝1或a＝－4，b＝11 C．a＝－1，b＝5 D．以上都不正确 2 解析：选A.f′(x)＝3x－2ax－b，∵在x＝1处f′(x)有极值，∴f′(1)＝0，即3－2a－b＝0.① 22 又f(1)＝1－a－b＋a＝10，即a－a－b－9＝0.② 2 由①②得a＋a－12＝0，∴a＝3或a＝－4. ????a＝3，?a＝－4，?a＝3??∴或当?时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，故f(x)?b＝－3，?b＝11.?b＝－3??? 2 ??a＝3在R上单调递增，不可能在x＝1处取得极值，所以? ?b＝－3? 舍去． 二、填空题 32 7．函数f(x)＝x－6x－15x＋2的极大值是________，极小值是________． 2 解析：f′(x)＝3x－12x－15＝3(x－5)(x＋1)， 在(－∞，－1)，(5，＋∞)上f′(x)>0，在(－1,5)上 f′(x)<0，∴f(x)极大值＝f(－1)＝10，f(x)极小值 ＝f(5)＝－98. 答案：10 －98 x8．设a∈R，若函数y＝e＋ax，x∈R，有大于零的极值点，则a的取值范围为________． x解析：y′＝e＋a，由y′＝0得x＝ln(－a)． 由题意知ln(－a)>0，∴a<－1. 答案：(－∞，－1) 32 9．若函数y＝－x＋6x＋m的极大值等于13，则实数m等于________． 2 解析：y′＝－3x＋12x，由y′＝0，得x＝0或x＝4，容易得出当x＝4时函数取得极大值， 32 所以－4＋6×4＋m＝13，解得m＝－19. 答案：－19 三、解答题 10．求下列函数的极值． x3－2 (1)f(x)＝2； 2x－12－x(2)f(x)＝xe. 解：(1)函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)． x－22x＋1 ∵f′(x)＝， 32x－1 令f′(x)＝0， 得x1＝－1，x2＝2. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1,2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － ＋ 0 ＋ 3f(x) ↗ ↘ ↗ 3 ↗ － 8故当x＝－1时，函数有极大值， 3 并且极大值为f(－1)＝－. 8 (2)函数的定义域为R， 1 f′(x)＝2xe－x＋x2·(x)′ e －x2－x＝2xe－xe －x＝x(2－x)e， 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － －2f(x) ↘ 0 ↗ 4e ↘ 由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且为f(0)＝0；当x＝2时，函数有极大值，－2 且为f(2)＝4e. 12532 11．已知f(x)＝x＋mx－2mx－4(m为常数，且m>0)有极大值－，求m的值． 2222 解：∵f′(x)＝3x＋mx－2m＝(x＋m)(3x－2m)， 2 令f′(x)＝0，则x＝－m或x＝m. 3 当x变化时，f′(x)，f(x)变化如下表 222x (－∞，－m) －m (－m，m) m (m，＋∞) 333f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 13533 ∴f(x)极大值＝f(－m)＝－m＋m＋2m－4＝－， 22 ∴m＝1. 12．(2020年高考安徽卷)设函数f(x)＝sinx－cosx＋x＋1，0 解：由f(x)＝sin x－cosx＋x＋1,0 π 于是f′(x)＝1＋2sin(x＋)． 4π23π)＝－， 得x＝π，或x＝. 422 当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表： 3π3π3πx (0，π) π (π，) (，2π) 222f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ 3πf(x) ↗ π＋2 ↘ ↗ 23π3π 因此，由上表知f(x)的单调递增区间是(0，π)与(，2π)，单调递减区间是(π，)， 22 3π3π 极小值为f()＝，极大值为f(π)＝π＋2. 22 令f′(x)＝0，从而sin(x＋
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