高中数学：第二章 数列 2.4 第2课时

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第2课时 等比数列的性质

学习目标

1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.

熟悉等比数列的有关性质.3.系统了解判断数列是否成等比数列的方法.

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知识点一 由等比数列衍生的等比数列

思考 等比数列{an}的前4项为1,2,4,8，下列判断正确的是 (1){3an}是等比数列； (2){3＋an}是等比数列；

?1?

(3)?a?是等比数列； ?n?

(4){a2n}是等比数列.

★答案★ 由定义可判断出(1)，(3)，(4)正确.

梳理 (1)在等比数列{an}中按序号从小到大取出若干项：ak1,ak2,ak3,…,akn,…,若k1，k2，k3，…，kn，…成等差数列，那么ak1,ak2,ak3,…,akn,…是等比数列.

?1??bn?

(2)如果{an}，{bn}均为等比数列，那么数列?a?，{an·bn}，?a?，{|an|}是等比数列.

?n?

?n?

知识点二 等比数列的性质

22思考 在等比数列{an}中，a2n∈N*)5＝a1a9是否成立？a5＝a3a7是否成立？an＝an－2an＋2(n>2，

是否成立？

8422★答案★ ∵a5＝a1q4，a9＝a1q8，∴a1a9＝a21q＝(a1q)＝a5， 22∴a2an＋2也成立. 5＝a1a9成立.同理a5＝a3a7成立，an＝an－2·

梳理 一般地，在等比数列{an}中，若m＋n＝s＋t，则有am·an＝as·at(m，n，s，t∈N*).

*若m＋n＝2k，则am·an＝a2k(m，n，k∈N).

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1.an＝amqn

－m

(n，m∈N*)，当m＝1时，就是an＝a1qn1.(√)

－

2.等比数列{an}中，若公比q<0，则{an}一定不是单调数列.(√) 3.若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列.(×)

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类型一 等比数列通项公式的推广应用 例1 等比数列{an}中. (1)a4＝2，a7＝8，求an；

(2)若{an}为递增数列，且a25＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，求通项公式an. 考点 等比数列的通项公式

题点 已知数列为等比数列求通项公式 a78－

解 (1)∵＝q74＝，

a42即q3＝4，∴q＝4， ∴an＝a4·q

n－4

3

＝2·(4)

－

3

n－4

＝2?(2)23n?4?225n?33.

(2)由a2q105，且a5≠0， 5＝a10＝a5·得a5＝q5，即a1q4＝q5， 又q≠0，∴a1＝q.

由2(an＋an＋2)＝5an＋1得，2an(1＋q2)＝5qan， ∵an≠0，∴2(1＋q2)＝5q， 1

解得q＝或q＝2.

2

∵a1＝q，且{an}为递增数列，

?a1＝2，?∴? ?q＝2.?

∴an＝2·2n1＝2n.

反思与感悟 (1)应用an＝amqnm，可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式，不必再求a1. (2)等比数列的单调性由a1，q共同确定，但只要单调，必有q>0.

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