高中数学：第二章 数列 2.4 第2课时

ruize

考点 等比数列的性质 题点 利用项数的规律解题 解 设数列{an}的公比为q(q>0).

?1＋1?， ∵a1＋a2＝2·?aa?1

2

1＋q2

∴a1＋a1q＝2·，即a1＝.①

a1qa1q111?又∵a3＋a4＋a5＝64??a＋a＋a?，

3

4

5

∴a3(1＋q＋q2)＝64·64

.② a3q2

q2＋q＋1

， a3q2

即a3＝

联立①②，解得q＝2，a1＝1， 故an＝2n1(n∈N*).

13.在等比数列{an}(n∈N*)中，a1＞1，公比q＞0.设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0.

(1)求证：数列{bn}是等差数列；

(2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an； (3)试比较an与Sn的大小. 考点 等比数列的性质

题点 等比数列的性质与对数运算综合 (1)证明 因为bn＝log2an，

an＋1

所以bn＋1－bn＝log2an＋1－log2an＝log2 an＝log2q(q＞0)为常数，

所以数列{bn}为等差数列且公差d＝log2q. (2)解 因为b1＋b3＋b5＝6，

所以(b1＋b5)＋b3＝2b3＋b3＝3b3＝6，即b3＝2. 又因为a1＞1， 所以b1＝log2a1＞0，

又因为b1·b3·b5＝0，所以b5＝0，

????b3＝2，?b1＋2d＝2，?b1＝4，??即即解得? ?b5＝0，??d＝－1，??b1＋4d＝0，?

－

n?n－1?9n－n2因此Sn＝4n＋(－1)＝.

22又因为d＝log2q＝－1，

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1

所以q＝，b1＝log2a1＝4，

2即a1＝16，

所以an＝25n(n∈N*).

(3)解 由(2)知，an＝25n＞0， n?9－n?

当n≥9时，Sn＝≤0，

2所以当n≥9时，an＞Sn.

1

又因为a1＝16，a2＝8，a3＝4，a4＝2，a5＝1，a6＝，

211a7＝，a8＝，

48

S1＝4，S2＝7，S3＝9，S4＝10，S5＝10，S6＝9，S7＝7， S8＝4，

所以当n＝3,4,5,6,7,8时，an

14.已知等比数列{an}满足an>0，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥3时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1等于( ) A.2nB.2n2C.n2D.n 考点 等比数列的性质

题点 等比数列的性质与对数运算综合 ★答案★ C

解析 log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1a3·…·a2n－1)

－

－

?log2(a1a2n?1)?log2(a5a2n?5)?log2(2)?log22n?n2.

15.在等差数列{an}中，公差d≠0，a1，a2，a4成等比数列，已知数列a1，a3，ak1,ak2,…,akn,…也成等比数列，求数列{kn}的通项公式. 考点 等比数列基本量的计算 题点 利用基本量法解题

2解 由题意得a22＝a1a4，即(a1＋d)＝a1(a1＋3d)，

n2n2n2n22得d(d－a1)＝0， 又d≠0，∴a1＝d.

又a1，a3，ak1,ak2,…,akn,…成等比数列， a33d

∴该数列的公比q＝＝＝3，

a1d

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∴akn＝a1·3n1.

＋

又akn＝a1＋(kn－1)d＝kna1， ∴数列{kn}的通项公式为kn＝3n1.

＋