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设CM=a， ∵AB=AC， ∴BC=2CM=2a， ∵tan∠ACB=2， ∴AM =2， CM∴AM=2a， 由勾股定理得：AC=5a， 1S△BDC=BC?DH=10， 21?2a?DH=10， 210DH=， a∵∠DHM=∠HMG=∠MGD=90°， ∴四边形DHMG为矩形， ∴∠HDG=90°=∠HDC+∠CDG，DG=HM，DH=MG， ∵∠ADC=90°=∠ADG+∠CDG， ∴∠ADG=∠CDH， 在△ADG和△CDH中， ??AGD＝?CHD＝90??∵??ADG＝?CDH ， ?AD＝CD?可编辑
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∴△ADG≌△CDH（AAS）， ∴DG=DH=MG=1010，AG=CH=a+， aa∴AM=AG+MG， 即2a=a+a2=20， 在Rt△ADC中，AD2+CD2=AC2， ∵AD=CD， ∴2AD2=5a2=100， ∴AD=52或-52（舍）， 故答案为：52．． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积的计算；证明三角形全等得出AG=CH是解决问题的关键，并利用方程的思想解决问题． 考点四：解直角三角形的应用
例4 （2018?随州）随州市新?水一桥（如图1）设计灵感来源于市花--兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车．斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔AB和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC）均在同一水平面内，BC在水平桥面上．已知∠ABC=∠DEB=45°，∠ACB=30°，BE=6米，AB=5BD． （1）求最短的斜拉索DE的长； （2）求最长的斜拉索AC的长．
1010+， aa可编辑
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【思路分析】（1）根据等腰直角三角形的性质计算DE的长； （2）作AH⊥BC于H，如图2，由于BD=DE=32，则AB=3BD=152，在Rt△ABH中，根据等腰直角三角形的性质可计算出BH=AH=15，然后在Rt△ACH中利用含30度的直角三角形三边的关系即可得到AC的长． 【解答】解：（1）∵∠ABC=∠DEB=45°， ∴△BDE为等腰直角三角形， ∴DE=22BE=×6=32． 22答：最短的斜拉索DE的长为32m； （2）作AH⊥BC于H，如图2， ∵BD=DE=32， ∴AB=3BD=5×32=152， 在Rt△ABH中，∵∠B=45°， ∴BH=AH=22AB=×152=15， 22在Rt△ACH中，∵∠C=30°， 可编辑
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∴AC=2AH=30．
答：最长的斜拉索AC的长为30m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．
【备考真题过关】 一、选择题
1．（2018?云南）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，则∠A的正切值为（ ）
101A．3 B． C．
103 D．310 10
2. （2018?贵阳）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（ ）
1A． B．1
2 C．
3 2 D．3
3. （2018?滨州）在△ABC中，∠C=90°，若tanA= 4. （2018?天津）cos30°的值等于（ ） A．
2 21，则sinB= ． 2 B．
3 2C．1 D．3
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