第二十一章 一元二次方程
本章的主要内容包括：一元二次方程及其有关概念，一元二次方程的解法(配方法、公式法、因式分解法)，一元二次方程根与系数的关系，运用一元二次方程分析和解决实际问题．其中解一元二次方程的基本思路和具体解法是本章的重点内容．
方程是科学研究中重要的数学思想方法，也是后续内容学习的基础和工具，本章是对一元一次方程知识的延续和深化，同时为二次函数的学习做好准备．联系一元二次方程和函数的基本知识，继续探索实际问题中的数量关系及其变化规律，让学生进一步体会“方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型”．
本章是中考考查的重点内容，主要考查一元二次方程的解及其解法、一元二次方程根与系数的关系、建立一元二次方程模型解决实际问题．
【本章重点】
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一元二次方程的解法及应用． 【本章难点】
1．一元二次方程根与系数的关系的应用． 2．利用一元二次方程解决实际问题． 【本章思想方法】
1．体会和掌握转化法，如：在解一元二次方程时，利用转化法将一元二次方程转化为一元一次方程．
2．掌握建模思想，如：在利用一元二次方程解决实际问题时，根据题意建立适当的一元二次方程，将实际问题转化为数学模型．
21.1 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 21.3 实际问题与一元二次方程
1课时 4课时 1课时
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21.1 一元二次方程
一、基本目标 【知识与技能】
1．理解一元二次方程及相关概念． 2．掌握一元二次方程的一般形式．
3．了解一元二次方程根的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解． 【过程与方法】
从实际问题中建立方程模型，体会一元二次方程的概念． 【情感态度与价值观】
通过从实际问题中抽象出方程模型来认识一元二次方程，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养．
二、重难点目标 【教学重点】
1．一元二次方程的概念及其一般形式． 2．判断一个数是不是一元二次方程的解． 【教学难点】
能准确判断一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项．
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环节1 自学提纲，生成问题 【5 min阅读】
阅读教材P1～P4的内容，完成下面练习． 【3 min反馈】 1．解决下列问题：
问题1：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
【解析】设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为__(100－2x)_cm__，宽为__(50－2x)_cm__.
列方程，得__(100－2x)(50－2x)＝3600__， 化简，整理，得__x2－75x＋350＝0__.①
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问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
【解析】全部比赛的场数为__4×7＝28(场)__.设应邀请x个队参赛，每个队要与其他__(x－1)__个队各赛一场．因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部1比赛共__x(x－1)__场．
21列方程，得__x(x－1)＝28__. 2化简、整理，得 __x2－x－56＝0__.②
归纳总结：方程①②的共同特点是：方程的两边都是__整式__，只含有__一个__未知数，并且未知数的最高次数是__2__.
2．一元二次方程的定义：等号两边都是__整式__，只含有__一__个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程，叫做一元二次方程．
3．一元二次方程的一般形式是__ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__.其中__ax2__是二次项，__a__是二次项系数，__bx__是一次项，__b__是一次项系数，__c__是常数项．
环节2 合作探究，解决问题 【活动1】 小组讨论(师生互学)
【例1】判断下列方程，哪些是一元二次方程？ (1)x3－2x2＋5＝0； (2)x2＝1；
13(3)5x2－2x－＝x2－2x＋；
45(4)2(x＋1)2＝3(x＋1)； (5)x2－2x＝x2＋1； (6)ax2＋bx＋c＝0.
【互动探索】(引发学生思考)要判断一个方程是一元二次方程，那么它应该满足哪些条件？
【解答】(2)(3)(4)是一元二次方程．
【互动总结】(学生总结，老师点评)判断一个方程是不是一元二次方程，首先看方程等号两边是不是整式，然后移项，使方程的右边为0，再观察左边是否只有一个未知数，且未知数的最高次数是否为2.
1?
【例2】将方程2x? ?2－x?＋2＝5(x－1)化成一元二次方程的一般形式，并指出各项系数．【互动探索】(引发学生思考)一元二次方程的一般形式是怎样的？ 【解答】去括号，得x－2x2＋2＝5x－5.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式：2x2＋4x－7＝0.
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