根据高斯定律?E?dS?S1?0??dV，可解得电场强度的分布
（2）利用带电球壳电场叠加的方法求球内外的电场分布。将带电球分割成无数个同心带电球壳，球壳带电荷为dq???4?r?2dr?，每个带电球壳在壳内激发的电场dE = 0，而在球壳外激发的电场
由电场叠加可解得带电球体内外的电场分布
解1：因电荷分布和电场分布均为球对称，球面上各点电场强
1度的大小为常量，由高斯定律?E?dS??dV得球体内
S?0?(0?r?R)
球体外（r＞R）
解2：将带电球分割成球壳，球壳带电 由上述分析，球体内(0?r?R)
球体外（r＞R）
题7.14：一无限大均匀带电薄平板，电荷面密度为?，在平板中部有一半径为r的小圆孔。求圆孔中心轴线上与平板相距为x的一点P的电场强度。 题7.14分析：用补偿法求解
利用高斯定理求解电场强度只适用于几种非常特殊的对称性电场。本题的电场分布虽然不具有这样的对称性，但可以利用具有对称性的无限大带电平面和带电圆盘的电场叠加，求出电场的分布。 若把小圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成、挖去圆孔的带电平板等效于一个完整的带电平板和一个带相反电荷（电荷面密度?????）的圆盘。这样中心轴线上的电场强度等效于平板和圆盘各自独立在该处激发的电场的矢量和。 解：在带电平面附近
en为沿平面外法线的单位矢量；圆盘激发的电场
它们的合电场强度为 在圆孔中心处x = 0，则 E = 0 在距离圆孔较远时x>>r，则
上述结果表明，在x>>r时。带电平板上小圆孔对电场分布的影响可以忽略不计。
题7.15：一无限长、半径为R的圆柱体上电荷均匀分布。圆柱体单位长度的电荷为?，用高斯定理求圆柱体内距轴线距离为r处的电场强度。
题7.15分析：无限长圆柱体的电荷具有轴对称分布，电场强度也为轴对称分布，且沿径矢方向。取同轴往面为高斯面，电场强度在圆柱侧面上大小相等，且与柱面正交。在圆柱的两个底面上，电场强度与底面平行，E?dS?0对电场强度通量贡献为零。整个高斯面的电场强度通量为
由于，圆柱体电荷均匀分布，电荷体密度????R2，处于高斯
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面内的总电荷
由高斯定理?E?dS??q?0可解得电场强度的分布，
解：取同轴柱面为高斯面，由上述分析得
题7.16：一个内外半径分别R1为R2和的均匀带电球壳，总电荷为Q1，球壳外同心罩一个半径为 R3的均匀带电球面，球面带电荷为Q2。求电场分布。电场强度是否是场点与球心的距离r的连续函数？试分析。
题7.16分析：以球心O为原点，球心至场点的距离r为半径，作同心球面为高斯面。由于电荷呈球对称分布，电场强度也为球对称分布，高斯面上电场强度沿径矢方向，且大小相等。因而?E?dS?E?4?r2，在确定高斯面内的电荷?q后， 利用高斯定理
即可求的电场强度的分布
解：取半径为r的同心球面为高斯面，由上述分析 r < R1，该高斯面内无电荷，?q?0，故 E1 = 0
Q1(r3?R13)R1 < r < R2，高斯面内电荷?q?，故 3R2?R13R2 < r < R3，高斯面内电荷为Q1，故
r > R3，高斯面内电荷为Q1+ Q2，故 电场强度的方向均沿径矢方向，各区域的电场强度分布曲线如图所示。 在带电球面的两侧，电场强度的左右极限不同，电
场强度不连续，而在紧贴r = R3的带电球面两侧，电场强度的跃变量
这一跃变是将带电球面的厚度抽象为零的必然结果，且具有普遍性。实际带电球面应是有一定厚度的球壳，壳层内外的电场强度也是连续变化的，如本题中带电球壳内外的电场，如球壳的厚度变小，E的变化就变陡，最后当厚度趋于零时，E的变化成为一跃变。
题7.17：两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为R1和R2 (R2 > R1)，单位长度上的电荷为?。求离轴线为r处的电场强度：（1）r < R1，（2）R1 < r < R2，（3）r > R2 题7.17分析：电荷分布在无限长同轴圆拄面上，电场强度也必定呈轴对称分布，沿径矢方向。取同轴圆柱面为高斯面，只有侧面的电场强度通量不为零，且?E?dS?E?2?rL，求出不同半径高斯面内的电荷?q。利用高斯定理可解得各区域电场的分布。 解：作同轴圆柱面为高斯面。根据高斯定理
在带电面附近，电场强度大小不连续，电场强度有一跃变 题7.18：如图所示，有三个点电荷Q1、Q2、Q3沿一条直线等间距分布，已知其中任一点电荷所受合力均为零，且Q1 = Q2 = Q3。求在固定Q1、Q3的情况下，将Q2从点O移到无穷远处外力所作的功。
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题7.18分析：由库仑力的定义，根据Q1、Q3所受合力为零可求得Q3
外力作功W?应等于电场力作功W的负值，即W???W。求电场力作功的方法有两种，（l）根据功的定义，电场力作的功为
其中E是点电荷Q1、Q3产生的合电场强度。（2）根据电场力作功与电势能差的关系，有 其中V0是Q1、Q3在点O产生的电势（取无穷远处为零电势）。 解1：由题意Q1所受的合力为零
解得Q2??Q3??Q
由点电荷电场的叠加，Q1、Q3激发的电场在y轴上任意一点的电场强度为
将Q2从点O沿y轴移到无穷远处（沿其他路径所作的功相同，请想一想为什么？），外力所作的功为 解2：与解1相同，在任一点电荷所受合力均为零时
1Q2??Q。并由电势的叠加得Q1、Q3在点O电势
41414将Q2从点O推到无穷远处的过程中，外力作功
比较上述两种方法，显然用功与电势能变化的关系来求解较为简洁。这是因为在许多实际问题中直接求电场分布困难较大，而求电势分布要简单得多。 题7.19：已知均匀带电长直线附近的电场强度近似为
?为电荷线密度。（1）求在r = r1和r = r2两点间的电势差；（2）在点电荷的电场中，我们曾取r??处的电势为零，求均匀带电长直线附近的电势时，能否这样取？试说明， 题7.19解：（1）由于电场力作功与路径无关，若取径矢为积分路径，则有
? （2）不能。严格地讲，电场强度E?er只适用于无限长的均匀带电直线，而此时电
2??0r荷分布在无限空间。r??处的电势应与直线上的电势相等。
题7.20：如图所示，有一薄金属环，其内外半径分别为R1和R2，圆环均匀带电，电荷面密度为?（? > 0）。（1）计算通过环中心垂直于环面的轴线上一点的电势；（2）若有一质子沿轴线从无限远处射向带正电的圆环，要使质子能穿过圆环，它的初速度至少应为多少？ 题7.20分析：（1）如图所示，将薄金属环分割为一组不同半径的同心带电细圆环，利用细环轴线上一点的电势公式，根据电势叠加原理 ，将这些不同半径的带电圆环在轴线上一点的电势相加，即可得到轴线上的电势分布。
（2）由轴上电势分布的结果可知，在圆环中心处（x = 0）电势V有极大值，当质子从无穷远处射向圆环时，电势能逐渐增加，而质子的动能随之减少。若要使质子穿过圆环，则质子在圆环中心处Ek ? 0。根据能量守恒定律，可求出电子所需初速度的最小值。 解：（1）在环上割取半径为r、宽度为 dr的带电细回环，其所带电荷为
它在轴线上产生的电势为
薄金属环的电势等于这些同心轴圆环电势的叠加
（2）根据能量守恒定律，为使质子在圆环中心处的动能Ek?0，开始时质子的初速率应满足 即v0?e?(R2?R1) ?0m第 7 页
上式表明质子欲穿过环心，其速率不能小于
e?(R2?R1) ?0m题7.21：两个同心球面的半径分别为R1和R2，各自带有电荷Q1和Q2。求：（1）各区域电势分布，并画出分布曲线；（2）两球面间的电势差为多少？
题7.21分析：通常可采用两种方法（1）由于电荷均匀分布在球面上，电场分布也具有球对称性，因此，可根据电势与电场强度的积分关系求电势。取同心球面为高斯面，借助高斯定理可求得各区域的电场强度分布，再由VP??E?dl可求得电势分布。
P? （2）利用电势叠加原理求电势。一个均匀带电的球面，在球面外产生的电势为 在球面内电场强度为零，电势处处相等，等于球面的电势
其中R是球面的半径。根据上述分析，利用电势在加原理，将两个球面在各区域产生的电势叠加，可求得电势的分布。 解1：（l）由高斯定理可求得电场分布 由电势V???rE?dl可求得各区域的电势分布。当r?R1时，有
当R1?r?R2时，有 当r?R2时，有
（2）两个球面间的电势差
解2：（l）由各球面电势的叠加计算电势分布。若该点位于两个球面内，即r?R1，则 若该点位于两个球面之间，即R1?r?R2，则 若该点位于两个球面之外，即r?R2，则
（2）两个球面间的电势差
题7.22：一半径为R的无限长带电细棒，其内部的电荷均匀分布，电荷的体密度为?。现取棒表面为零电势，求空间电势分布并画出分布曲线
分析 无限长均匀带电细棒电荷分布呈轴对称，其电场和电势的分布也呈轴对称。选取同轴柱面为高斯面，利用高斯定理
可求得电场分布E(r)，再根据电势差的定义 并取棒表面为零电势（Vb = 0），即可得空间任意点的电势
解：取高度为l、半径为r且与带电律同轴的回柱面为高斯面，由高斯定理 当r?R时 E?2?rl??r2l??0 得E(r)??r 2?0当r?R时E?2?rl??R2l??0 ?R2得E(r)?
2?0r取棒表面为零电势，空间电势的分布有
R?r?当r?R时，V(r)??dr?(R2?r2)
r2?4?00当r?R时，V(r)??Rr?R2?R2Rdr?ln 2?0r2?0r图是电势V随空间位置r的分布曲线。
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