【答案】B
(2)已知{an}为等差数列，若a1＋a2＋a3＝5，a7＋a8＋a9＝10，则a19＋a20＋a21＝________． 【解析】法一：设数列{an}的公差为d，则a7＋a8＋a9＝a1＋6d＋a2＋6d＋a3＋6d＝5＋18d＝10，所以18d＝5，故a19＋a20＋a21＝a7＋12d＋a8＋12d＋a9＋12d＝10＋36d＝20.
法二：由等差数列的性质，可知S3，S6－S3，S9－S6，…，S21－S18成等差数列，设此数5
列公差为D.所以5＋2D＝10，所以D＝.所以a19＋a20＋a21＝S21－S18＝5＋6D＝5＋15＝20.
2
【答案】20
【点评】一般地，运用等差数列性质，可以化繁为简、优化解题过程．但要注意性质运用的条件，如m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N)，只有当序号之和相等、项数相同时才成立．
考点3 等差数列的判定与证明
*
?1?2n?n－??2?
例3令 bn＝，数列{bn}为等差数列，则非零常数c的值为________．
n＋c?1?2n?n－??2?
【解析】∵bn＝，c≠0，数列{bn}为等差数列，
n＋c
1
∴bn＝2n.得到c＝－.
21
【答案】－
2
2an1
例4已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N)，bn＝.
an＋2an(1)证明：数列{bn}为等差数列． (2)求数列{an}的通项公式．
2an1an＋2*
，所以有an≠0(n∈N)，则有bn＋1＝＝＝an＋2an＋12an【解析】(1)∵a1≠0，且有an＋1＝ 5
11＋＝bn＋， an22
11*
即bn＋1－bn＝(n∈N)且b1＝＝1，
2a1
1
所以{bn}是首项为1，公差为的等差数列．
21n－1n＋1
(2)由(1)知bn＝b1＋(n－1)×＝1＋＝，
2221n＋1
即＝， an2所以an＝
2
. n＋1
1
【点评】等差数列的判定与证明方法 方法 解读 对于n≥2的任意自然数，an－an定义法 －1适合题型 (n≥2，n∈N)为同一常数{an}是等差数列 * 等差 2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N)成立* 中项法 {an}是等差数列 证明问题 通项 解答题中 公式法 an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立{an}是等差数 6
列 前n项和 2 验证Sn＝An＋Bn(A，B是常数)对 公式法 任意的正整数n都成立{an}是等差数列 选择、填空题中的判定问题
考点4 等差数列前n项和的最值问题
例5已知{an}是各项为正数的等差数列，Sn为其前n项和，且4Sn＝(an＋1)2. (1)求a1，a2的值及{an}的通项公式； 7??(2)求数列?Sn－an?的最小值． 2??【解析】(1)因为4Sn＝(an＋1)，
所以，当n＝1时，4a1＝(a1＋1)，解得a1＝1，
所以，当n＝2时，4(1＋a2)＝(a2＋1)，解得a2＝－1或a2＝3， 因为{an}是各项为正数的等差数列，所以a2＝3， 所以{an}的公差d＝a2－a1＝2，
所以{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝2n－1. （2n－1＋1）2
(2)因为4Sn＝(an＋1)，所以Sn＝＝n，
4
2
2
2
22
777?7?23522
所以Sn－an＝n－(2n－1)＝n－7n＋＝?n－?－.
222?2?4717
所以，当n＝3或n＝4时，Sn－an取得最小值－.
22
7
方法总结 【p74】
1．等差数列的判定方法有定义法、中项公式法、通项公式法、前n项和公式法，注意等差数列的证明只能用定义法．
2．方程思想和基本量思想：在解有关等差数列问题时可以考虑化归为首项与公差等基本量，通过建立方程组获得解．
3．用函数思想理解等差数列的通项公式和前n项和公式，从而解最值问题．
走进高考 【p74】
1．(2018·全国卷Ⅰ)设Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5
＝( )
A．－12 B．－10 C．10 D．12
【解析】法一：设等差数列{an}的公差为d，∵3S3＝S2＋S4， 3×2?4×33?d?＝2a1＋d＋4a1＋∴3?3a1＋d，解得d＝－a1， 2?22?∵a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.
法二：设等差数列{an}的公差为d，∵3S3＝S2＋S4，∴3S3＝S3－a3＋S3＋a4，∴S3＝a4－3×2
a3，∴3a1＋d＝d，∵a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.
2
【答案】B
2．(2018·全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15. (1)求{an}的通项公式； (2)求Sn，并求Sn的最小值．
【解析】(1)设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15.
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