2017年中考数学专题复习 第二十讲 与圆有关的位置关系
2017年中考数学专题复习
第二十讲 与圆有关的位置关系
【基础知识回顾】
一、 点与圆的位置关系：
1、点与圆的位置关系有 种，若圆的半径为r，点P到圆心的距离为d
则：点P在圆内 <＝> 点P在圆上<＝> 点P在圆外 <＝> 2、 过三点的圆：
⑴同一直线上三点不共圆，过 三点，有且只有一个圆
⑵三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做这个三角形的 外接圆的圆心叫做三角形的 这个三角形叫做这个圆的
⑶三角形外心的形成：三角形 的交点，外心的性质：到 相等 【名师提醒：1、锐角三角形外心在三角形 直角三角形的外心是 钝角三角形的外心在三角形 】 一、 直线与圆的位置关系：
1、直线与圆的位置关系有 种：当直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆 ，直线叫圆的 线；当直线和圆有一个交点，叫直线和圆 ，这的直线叫做圆的 ；直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆
2、设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则：
直线l与⊙O相交<＝>d r,直线l与⊙O相切<＝>d 直线l与⊙O相离<＝>d r 3、 切线的性质和判定：
⑴性质定理：圆的切线垂直于经过切点的
【名师提醒：根据这一定理，在圆中遇到切线时，常用连接圆心和切点，即可得垂直关系】 ⑵判定定理：经过半径的 且 这条半径的直线是圆的切线
【名师提醒：在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明。当公共点未标出时，一般可证圆心到直线的距离d=r来判定相切】 4、 切线长定理： ⑴切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间 的长叫做这点到圆的切线长。 ⑵切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线，它们的 相等，并且圆心和这一点的连线平分 的夹角
5、 三角形的内切圆：
⑴与三角形各边都 的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的 ⑵三角形内心的形成：是三角形 的交点
内心的性质：到三角形各 的距离相等，内心与每一个顶点的连接线平分 【名师提醒：三类三角形内心都在三角形 若△ABC三边为a、b、c面积为s，内切圆半径为r，则s= ，若△ABC为直角三角形，则r= 】 二、 圆和圆的位置关系：
圆和圆的位置关系有 种，若⊙O1半径为R，⊙O2半径为r，圆心距外，则
两圆外离<＝> 两圆外切<＝> 两圆相交<＝> 两圆内切<＝> 两圆内含<＝>
【名师提醒：两圆相离无公共点包含 和 两种情况，两圆相切有唯一公共点包含 和 两种情况，注意题目中两种情况的考虑。圆心相同是两圆 此时d= 】 三、 反证法：
假设命题的结论 ，由此经过推理得出 由矛盾判定所作的假设 从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫反证法
【名师提醒：反证法解题的关键是提出 即假设所证结论的反面成立，推理论证得出的矛盾可以与 相矛盾，也可以与 相矛盾，从而肯定原命题成立】
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2017年中考数学专题复习 第二十讲 与圆有关的位置关系
【典型例题解析】 考点一：切线的性质
例1 （2016?荆州）如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，OP交
?上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD，若∠APB=80°⊙O于点C，点D是优弧ABC，
则∠ADC的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30° 【考点】切线的性质． 【分析】根据四边形的内角和，可得∠BOA，根据等弧所对的圆周角相等，根据圆周角定理，可得答案． 【解答】解；如图，
由四边形的内角和定理，得∠BOA=360°﹣90°﹣90°﹣80°=100°，
?，得∠AOC=∠BOC=50°由?． AC=BC由圆周角定理，得∠ADC=
1∠AOC=25°，故选：C． 2?是解题关键，【点评】本题考查了切线的性质，切线的性质得出?AC=BC又利用了圆周角定理．
例2 （2016?淄博）如图，⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为4，有一内角为60°的菱形，当菱形的一边在直线l上，另有两边所在的直线恰好与⊙O相切，此时菱形的边长为 ． 【考点】切线的性质；菱形的性质．
【分析】考虑菱形与另外有两边所在的直线相切，分三种情况进行讨论，添加相应辅助线计算即可. 【解答】解：（1）过点O作直线l的垂线，交AD于E，交BC于F，作AG直线l于G，由题意得，EF=2+4=6，∵四边形AGFE为矩形，∴AG=EF=6， 在Rt△ABG中，AB=
AG6==43．
sin?B32（2）过点O作OE⊥于点E，过点D作DF⊥于F点，则OE=4，DF=2，
llDC=
2343 DF=
33
(3)过O点作EF垂直BA延长线于E点，交CD于F点，过A点作AG⊥CD于G，则AG=EF=4，AD=
2383AG= 33故答案为43或4383或 33【点评】本题考查的是切线的性质和菱形的性质，根据题意正确画出图形、灵活运用解直角三角形
的知识是解题的关键
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对应训练 1． （2016?长春）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，若OA=2，∠P=60°，则?AB 的长为（ ）
A．
245π B．π C．?D．? 3 3 32．（2016?丹东）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，
交AD的延长线于点E． （1）求证：∠BDC=∠A；
（2）若CE=4，DE=2，求AD的长．
考点二：切线的判定
例2 （2016?黔东南州）如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延
长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，且PC=PE?PO． （1）求证：PC是⊙O的切线．
（2）若OE：EA=1：2，PA=6，求⊙O的半径．
【考点】相似三角形的判定与性质；垂径定理；切线的判定． 【专题】证明题．
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【分析】（1）连结OC，如图，由PC=PE?PO和公共角可判断△PCE∽△POC，则∠PEC=∠PCO=90°，然后根据切线的判定定理可判断PC是⊙O的切线；
（2）设OE=x，则EA=2x，OA=OC=3x，证明△OCE∽△OPC，利用相似比可表示出OP，则可列方程3x+6=9x，然后解出x即可得到⊙O的半径． 【解答】（1）证明：连结OC，如图， ∵CD⊥AB，∴∠PEC=90°，
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∵PC=PE?PO，∴PC：PO=PE：PC，
而∠CPE=∠OPC，∴△PCE∽△POC，∴∠PEC=∠PCO=90°， ∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；
（2）解：设OE=x，则EA=2x，OA=OC=3x，
∵∠COE=∠POC，∠OEC=∠OCP，∴△OCE∽△OPC， ∴OC：OP=OE：OC，即3x：OP=x：3x，解得OP=9x， ∴3x+6=9x，解得x=1，∴OC=3， 即⊙O的半径为3．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．也考查了切线的判定方法．
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对应训练 3.（2016?枣庄）如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA=∠C． （1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）连接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半径为22，求BC的长．
考点三：三角形的外接圆和内切圆
例4 （2016?南京）已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（ ） A．1 B．3 C．2 D．23
【考点】正多边形和圆；切线的性质．
【分析】根据题意画出图形，利用正六边形中的等边三角形的性质求解即可． 【解答】解：如图，连接OA、OB，OG；
∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形，∴△OAB是等边三角形， ∴OA=AB=2，∴OG=OA?sin60°=2×
3=3， 2∴边长为2的正六边形的内切圆的半径为3．故选B．
【点评】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力．解答这类题往往一些学生因对正多边形的基本知识不明确，将多边形的半径与内切圆的半径相混淆而造成错误计算，记住基本概念是解题的关键，属于中考常考题型．
例5 （2016?贵阳）小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（ ）
A．23cm B．43cm C．63cm D．83cm 【考点】三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质.
【分析】作等边三角形任意两条边上的高，交点即为圆心，将等边三角形的边长用含半径的代数式表示出来，列出方程进行即可解决问题．
【解答】解：过点A作BC边上的垂线交BC于点D，过点B作AC边上的垂线交AD于点O，则O为圆心．设⊙O的半径为R，由等边三角形的性质知：∠OBC=30°，OB=R． ∴BD=cos∠OBC×OB=
3R，BC=2BD=3R． 2∵BC=12，∴R=123?43．故选B．
【点评】此题主要考查等边三角形外接圆半径的求法、锐角三角函数，垂径定理等知识，解题的关键是作等边三角形任意两条边上的高，交点即为圆心，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型． 对应训练
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