三角函数知识点及典型例题

三角函数知识点及典型例题

一、任意角和弧度制及任意角的三角函数 高考对任意角三角函数定义的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求学生深刻认识利用坐标法定义任意角三角函数的背景和目的．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是直接利用任意角三角函数的定义求其三角函数值；二是根据任意角三角函数的定义确定终边上一点的坐标．

考点1 象限角及终边相同的角

【1-1】 已知角α＝45°，

(1)在－720°～0°范围内找出所有与角α终边相同的角β；

kk????M=?xx??180??45?,k?Z?,N=?xx??180??45?,k?Z?24????，判断两集(2)设集合

合的关系．

【1-2】 若sin??0且sin2??0，则角θ的终边所在象限是( )[来源:学_科_

网]

A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限 【1-3】终边在直线y＝3x上的角的集合为________．

?【1-4】若角?是第二象限角，试确定2?，2的终边所在位置． 【课本回眸】

1．任意角、角的分类：

①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角：

终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)． 2.弧度制：

①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．

l

②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝r，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．

l

③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值r与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．

3.弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度． 【方法规律技巧】

1.对与角α终边相同的角的一般形式α＋k·360°(k∈Z)的理解;(1)k∈Z;(2)α任意角;(3)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.

2.利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角

3.已知角α的终边位置，确定形如kα，π±α等形式的角终边的方法：先表示角α的范围，再写出kα、π±α等形式的角范围，然后就k的可能取值讨论所求角的终边位置

考点2 三角函数的定义

4

【2-1】已知角α的终边经过点P(m，－3)，且cos α＝－5，则m等于( ) 11A．－4

11

B.4C．－4

D．4

【2-2】 已知角α的终边与单位圆的交点P?x，

A.3

3

B．±3C.3

??3?

?，则tan α＝( ) 2?

3D．±3

【2-3】已知角α的终边上有一点P(t，t2＋1)(t>0)，则tan α的最小值为( )[来源:学_科_网]

1

A．1 B．2C.2

D.2

2π??2π

【2-4】 已知角α的终边上一点P的坐标为sin3，cos3，则角α的最小正值为( )

??

5π

A.6

2π5πB.3C.3

11πD.6 【课本回眸】

1.任意角的三角函数定义：

设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么角α的正弦、余弦、正切分y

别是：sin α＝y，cos α＝x，tan α＝x，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．

2．三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦 3.三角函数线

设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M.由三角函数的定义知，点P的坐标为(cos_α，sin_α)，即P(cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM，sin α＝MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tan α＝AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线.

三角函数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线 【方法规律技巧】

1.已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解．

2.已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，

然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值．

考点3 扇形的弧长及面积公式

【3-1】已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A．1或4 B．1 C．4 D．8

【3-2】已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？ 【课本回眸】

11

弧长公式：l＝|α|r，扇形面积公式：S扇形＝2lr＝2|α|r2. 【方法规律技巧】

1nπrnπr2

(1)弧度制下l＝|α|·r，S＝2lr，此时α为弧度．在角度制下，弧长l＝180，扇形面积S＝360，此时n为角度，它们之间有着必然的联系．[来源:学。科。网Z。X。X。K] (2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形．

二、同角三角函数的基本关系及诱导公式

高考对同角三角函数基本关系式和诱导公式的考查主要是小题为主,试题难度不大．主要从两个方面考查：（1）同角的三个函数值中sin?,cos?,tan?知一求二；（2）能灵活运用诱导公式进行三角函数的求值运算和沟通角度之间的联系．

考点1同角三角函数的基本关系式

【1-1】已知cos??3???，且??，则tanφ＝（） ????2?2?2A．-33B． C．-3 D．3 335，??[0,π]，则tan??（） 5【1-2】【浙江省嘉兴市质检】若sin??cos??A．?11 B． C．?2 D．2 22【1-3】若?为第三象限，则

cos?1?sin?2?2sin?1?cos?2的值为（ ）

A．3 B．?3 C．1 D．?1

【课本回眸】

同角三角函数的基本关系式

来源学科网

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)． πsin α??(2)商数关系：tan α＝cos αα≠kπ＋2，k∈Z.

??

【方法规律技巧】

sin α

1.利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α

cos α的弦切互化．

2.注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.

考点2 利用诱导公式化简求值

【2-1】若sin(???)?322? （ ） ，?是第三象限的角，则

??????5sin?cos22sin????cos???A．

11 B．? C．2 D．?2 22【2-2】已知sin(???)?lg1cos(3???)cos(??2?)，求 ?33cos(??)[cos(???)?1]cos?sin(???)?cos?102【2-3】化简

sin(k???)cos?(k?1)????sin?(k?1)????cos(k???),k?Z

【课本回眸】

六组诱导公式 角 函数 正弦 余弦 正切 2kπ＋α(k∈Z) sin_α cos_α tan_α π＋α －sin_α －cos_α tan_α －α －sin_α cos_α －tan_α π－α sin_α －cos_α －tan_α π2－α cos_α sin_α π2＋α cos_α －sin_α kπ

对于角“2±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”

【方法规律技巧】

(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负号—脱周期—化锐角．特别注意函数名称和符号的确定．