图形变换
内容概述
本讲将涉及到图形的对称、平移、旋转、割补及其他等积变换,下面我们就汶些变换的预备知识及变换本身进行学习和探讨．
1.三角形ABC与A?B?C?,如果它们的对应边成比例,即
ABBCCA???K,我们A?B?B?C?C?A?就称它们相似，记作△ABC～△A?B?C?.
这个比值K叫做两个三角形的相似系数(注意三角形的先后顺序),如果相似系数为1，就称这两个三角形全等,记作△ABC≌△A?B?C?.
如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等,那么这两个三角形相似； 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似；
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似．
(以上3条判定定理中,如果含有边的比例的关系,而其中的比例系数为l,则这两个三角形全等．)
2.两条直线平行,则：
反之,如果知道上面某种情况的成立,则那两条直线平行． 3.两个相似三角形的面积比值为相似系数的平方．
典型问题
2.四边形ABCD中,AB=30,AD=48,BC=14,CD=40.又已知∠ABD+∠BDC=90,求四边形ABCD的面积．
【分析与解】 如下图,以BD的垂直平分线为对称轴L,做△ABD关于L的对称图形△A?BD.连接A?C．
0
1
00,0
因为∠ABD+∠BDC=900而∠ABD=∠A?DB=90所以有∠A?DB+∠BDC=90．
那么A?CD为直角三角形,由勾股定理知A?C2?AB2?CD2=2500,所以A?C?50. 而在△A?BC中,有A?B=AD=48,有48+14=2500,即A?B+BC=A?C,即△A?BC为直角三角形．
2
2
2
2
2
有SA?CD?SA?BC?30?40?A?CD11?14?48??936.
22而|S四边形ABCD?S?SA?BC0
?936.
评注:Ⅰ.本题以∠ABC+∠BDC=90突破口,通过对称变换构造出与原图形相关的角三角形.
这样面积就很好解决了．
Ⅱ.对于这道题我们还可以将△BCD作L的对称图形.如下：
4.如图,在三角形ABD中,当AB和CD的长度相等时,请求出“?”所示的角是多少度,给出过程．
【分析与解】 因为AB=CD,于是可以将三角形ABC的边BA边与CD对齐,如下图． 在
00
下图中有∠BCA=110,所以∠ACD=70
000
于是∠ACC?=∠ACD+∠DCC?=∠ACD+∠ABC=70+40=110；
0
即∠ACC?=110=∠CC?D；又因为C?A?只是CA移动的变化,所以C?A?=CA；则ABC?A?是一等腰梯形．
2
于是,∠ADC?=180-110=70；
0000
又∠CDC?=30,所以∠ADC=70-30=40.
0
6.如下图,△ABC是边长为1的等边三角形,△BCD是等腰三角形BD=CD，顶角∠BDC=120,∠
0
MDN=60,求△AMN的周长．
【分析与解】 如下图,延长AC至P,使CP=MB,连接DP.
0
0
0
则有∠MBD=60+S0
ADE11?S正六边形DEQSRT?S63DQR1800?1200?∠PCD；CP=BM；2BD=CD,所以有△MBD≌△PCD.
00
于是∠MDC=∠PDC；又因为∠MDB+∠NDC=60,所以∠PDC+∠NDC=∠NDP=60；MD=PD 在△MDN、△PND中,∠NDM=∠NDP,ND=ND,MD=PD,于是△MND≌△PND.有MN=PN． 因为NP=NP=NC+CP,而AM=AB-MB=AB-CP,所以AM+AN+MN=(AB-CP)+AN+(NC+CP)=AB+AN+NC=2.
即△AMN的周长为2.
8.下图为半径20厘米、圆心角为144的扇形图.点C、D、E、F、G、H、J是将扇形的B、K弧线分为8等份的点.求阴影部分面积之和．
【分析与解】 如下图,做出辅助线
△KMA与△ANG形状相同(对应角相等),大小相等(对应边相等),有△KMA≌△ANG,S
KMA0
?SANG,而△LMA是两个三角形的公共部分,所以上图中的阴影部分面积相等．
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