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BADC
ABADABsin?ADB ?即?sin?ADBsin?ABDADsin?ABD在?BCD内,利用正弦定理得:
BCDCBCsin?BDC?,即?.
sin?BDCsin?DBCDCsin?DBC∵BD是B的平分线,∴sin?ABD?sin?DBC. ∵sin?ADB?sin?BDC, ∴12.在?ABC中,已知
ABsin?ADBsin?BDCBCABAD,∴. ????BCDCADsin?ABDsin?DBCCDsinAsin(A?B)?,求证:a2,b2,c2成等差数列. sinCsin(B?C)【知识点:两角和与差的正弦函数,二倍角的余弦,正弦定理,等差数列；数学思想:转化与化归】
证明:由已知得sin(B?C)sin(B?C)?sin(A?B)sin(A?B),
cos2B?cos2C?cos2A?cos2B,2?1?cos2B1?cos2A1?cos2B, ??222∴2sin2B?sin2A?sin2C,由正弦定理可得2b2＝a2＋c2,故a2,b2,c2成等差数列.
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1.在?ABC中,a?23，b?22，B?45?,则A为（ ） A.或3?2? 3?3?5?C.或 66?D. 6B.
【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合、分类讨论】 解:A 由
3ab=,得sinA＝,则A＝60°或120°,故选A.
2sinAsinB2.在?ABC中,若3a?2bsinA,则B?( )
.
A.?3
B.?6 C.?2?3或3 D.?5?6或6 【知识点:正弦定理】 解:C 由
asinA=bsinB,得sinB＝32,故选C.
3.在?ABC中,已知a?6,b?2,A?60?,则符合条件的三角形的个数有（ A.2个 B.1个 C. 0个 D.无数个
【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】 解:B 由a＞b,故A＞B,则三角形只有一解,故选B.
4.在△ABC中,cosA＝－1
3,a＝3,b＝10,则符合条件的三角形的个数有（A.2个 B.1个 C. 0个 D.无数个
【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】
解:C 由cosA＜0,得A为钝角,又a＜b,故此三角形无解,故选C. 5.在?ABC中,B?45?,C?60?,c?1,则最短边的边长等于（ ） A.63 B.62 C.12 D.32 【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:数形结合】
.
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） ）
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解:A 由三角形内角和为180°知A＝75°,故B角最小,从而b为最小边,由正弦定理,b＝6,故选A. 36.在△ABC中,acosA＝bcosB,则△ABC的形状为（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 【知识点:正弦定理】
解:D 由acosA＝bcosB及正弦定理,得sinAcosA＝sinBcosB,即sin2A＝sin2B, 则2A＝2B或2A＋2B＝180°,则A＝B或A＋B＝90°,△ABC为等腰或直角三角形,故选D.
π
7.在△ABC中,若b＝10,B＝4,tanA＝2,则a＝________. 【知识点:正弦定理,同角三角函数间的基本关系】
sinA2π
解:410 由tanA＝cosA＝2,得sinA＝55,又∵b＝10,B＝4,根据正弦定理,得a＝210×55bsinA
＝410.
sinB＝2
2
8.已知函数f(x)?sin(x?),△ABC三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若
6?f(B?C)?1,a＝3,b＝1,则△ABC的面积S＝__________.
【知识点:正弦定理】
3
解:4 由f(B?C)?1,得sinB?C???1,又B?C????,7?6666????,所以
B?C????,
62得A?2?,由正弦定理sinB?sinA,得sinB?1,则B??,C??,则面积
3ba2663. S?1absinC?249.如图所示,扇形AOB中,∠AOB＝60°,OB＝1,在弧AB上有一动点P,过P作平行
.
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于OB的直线和OA交于点C,则△POC面积的最大值为______________.
【知识点:正弦定理,解三角形,三角恒等变换；数学思想:数形结合】
3
解:12 设∠AOP＝θ,∵CP∥OB,∴∠CPO＝∠POB＝60°－θ,∴∠OCP＝120°. 1CP2在△POC中,由正弦定理,得sin120°＝sinθ,有CP＝sinθ.
3OC12又＝sin120°,有OC＝sin(60°－θ). sin(60°－θ)3
112231因此△POC的面积为S＝2CP·OCsin120°＝2·sinθ·sin(60°－θ)×2＝
333sinθsin(60°－θ)＝
13111
sinθ(2cosθ－2sinθ)＝[cos(2θ－60°)－2],θ∈(0°,60°). 323
3
故当θ＝30°时,S取得最大值为12. 10.已知在?ABC中,?A?45?，a?2，c?6,解此三角形. 【知识点:正弦定理,解三角形；数学思想:分类讨论】 解:由
3ca＝,得sinC＝,C＝60°或120°,
2sinAsinCcsinB6sin75???3?1, sinCsin60?csinB6sin15? ??3?1，sinCsin60?当C?60?时，B?75?,b?当C?120?时，B?15?,b?，C?60?，B?75?或b?3?1，C?120?，B?15?. 所以b?3?111.在?ABC中,如果lga?lgc?lgsinB??lg2,且B为锐角,试判定三角形的形状.
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