2.5 夹角的计算
[A.基础达标]
1．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－则l与α所成的角θ为( ) A．30° C．135°
2，2
B．45° D．150° 2
解析：选B.因为cos〈m，n〉＝－，所以〈m，n〉＝135°，故l与α所成的角θ
2
为45°.
2．设ABCD，ABEF都是边长为1的正方形，FA⊥平面ABCD，则异面直线AC与BF所成的角等于( )
A．45° B．30° C．90° D．60°
→→→
解析：选D.设AD＝a，AB＝b，AF＝c，|a|＝|b|＝|c|＝1. →→→→→→
AC＝AB＋AD＝a＋b，BF＝BA＋AF＝－b＋c. →→→→→→AC·BF＝(a＋b)·(c－b)＝－b2＝|AC||BF|cos〈AC，BF〉．
1→→
所以cos〈AC，BF〉＝－，故AC与BF所成的角为60°.
2
3．正四棱锥S-ABCD中，SA＝AB＝2，则直线AC与平面SBC所成角的正弦值为( )
36A. B. 666
3
→→→
解析：选C.设平面ABCD的中心为O，以OA，OB，OS为x，y，z轴正向建立坐标系，A(2，
→→
0，0)，C(－2，0，0)，S(0，0，2)，B(0，2，0)，SB＝(0，2，－2)，BC＝(－2，
→→→
－2，0)，AC＝(－22，0，0)，设n＝(x，y，z)为平面SBC的法向量，由n⊥SB，n⊥BC→AC·n3→
得y＝z＝－x，可取n＝(1，－1，－1)，cos〈AC，n〉＝＝－.
→3|AC||n|
C.
D.
3→
故AC与平面SBC所成角的正弦值为|cos〈AC，n〉|＝. 3
4．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于( )
610A. B. 44
C.2 2
D.3 2
3 3
→→→
解析：选A.取AC中点为D，连接BD，得BD为平面ACC1A1的法向量，设AB＝a，AC＝b，
→→
1AB1·BD6→→→→→→→→→
AA1＝c，则AB1＝AB＋BB1＝a＋c，BD＝BA＋AD＝－a＋b，cos〈AB1，BD〉＝＝－，2→→4
|AB1||BD|
6→→
故AB1与平面ACC1A1所成角的正弦值为|cos〈AB1，BD〉|＝.
4
5．已知三条射线PA，PB，PC的两两夹角都是60°，则二面角A-PB-C的余弦值为( ) 16A. B. 33
C.3 2
D.3 3
解析：选A.在PA、PB、PC上取点D、E、F使得PD＝PE＝PF，可知三棱锥D-PEF为正四面体，取PE中点H，连接DH，FH，得∠DHF为二面角A-PB-C1→→→→→→→→→
的平面角，设PF＝a，PE＝b，PD＝c，则HD＝HP＋PD＝－b＋c，HF＝HP＋PF2
→→
1HD·HF1→→＝－b＋a，cos〈HD，HF〉＝＝. 2→→3
|HD||HF|
2π
6．在空间中，已知二面角α-l-β的大小为，n1，n2分别是平面α，β的法向量，
3
则〈n1，n2〉的大小为________．
解析：因二面角α-l-β的大小是它们两个半平面的法向量夹角或夹角的补角．当二面
2π22π
角α-l-β的大小为时，则〈n1，n2〉的大小为π或π－. 333
π2π答案：或 33
7．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别是C1D1，CC1的中点，则直线B1N与平面BDM所成角的正弦值为________．
解析：建立如图坐标系，D(0，0，0)，B(2，2，0)，B1(2，2，2)，M(0，1，2)，N(0，2，1)，
→→→
DB＝(2，2，0)，DM＝(0，1，2)，B1N＝(－2，0，－1)，设
→→
n＝(x，y，z)为平面BDM的法向量，由n·DB＝0，n·DM＝0，得
→n·B1N→
y＝－x＝－2z，可令n＝(2，－2，1)，cos〈n，B1N〉＝
→|n||B1N|＝－
55→
，故B1N与平面BDM所成角的正弦值为|cos〈n，B1N〉|＝. 33
5
3
答案：
9
8.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边4长为3 的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为________．
解析：法一：392
(3)·AA1＝，得AA1＝3. 44
23AA13
易得∠APA1是PA与平面ABC所成角，A1P＝××3＝1，tan∠APA1＝＝＝3，
32A1P1
π
故∠APA1＝. 3→→→
法二：令A1C1＝a，A1B1＝b，A1A＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝3，
111→→→→→→→→→＝1，|PAPA1＝－A1P＝－(a＋b)，PA＝PA1＋A1A＝－a－b＋c，|PA1|＝PA|＝1·PA1333
→→PA1·PA1π→→→→＝2，cos〈PA，PA〉＝＝，故PA与平面ABC所成角的大小为. 1PA·PA→→23|PA1||PA|
π答案： 3
9.在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥底面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝AC＝BC＝2，D为AB中点．
(1)求证：BC1∥平面A1CD；
(2)求直线AA1与平面A1CD所成角的正弦值． 解：(1)证明：连接AC1交A1C于O点， 则DO为△ABC1的中位线，故DO∥BC1， 又DO平面A1CD，BC1平面A1CD， 所以BC1∥平面A1CD.
(2)以CA，CB，CC1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，A1(2，
→??n·CD＝0，??x＋y＝0，
0，2)，D(1，1，0)，设平面A1DC的法向量为n＝(x，y，z)，由?得?
?→－x＋y－2z＝0，??n·A1D＝0，?
令x＝1得n＝(1，－1，－1)．
设直线AA1与平面A1CD所成角为α，
3?－2?→
则sin α＝|cos〈AA1，n〉|＝??＝3. ?23?
10．如图，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，AF⊥平面ABCD，CE⊥平面ABCD. (1)证明：BD⊥EF；
(2)若AF＝1，且二面角B-EF-C的大小为30°，求CE的长．
解：(1)证明：连接AC，因为AF⊥平面ABCD，CE⊥平面ABCD. 所以AF∥CE，所以四边形ACEF在同一平面内， 因为AF⊥平面ABCD，所以AF⊥BD， 又因为ABCD为正方形，所以AC⊥BD， 因为AF∩AC＝A，所以BD⊥平面ACEF， 所以BD⊥EF.
(2)以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AF所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标
系(如图)．设CE＝a，则B(1，0，0)，F(0，0，1)，E(1，1，a)．
→→
所以BF＝(－1，0，1)，BE＝(0，1，a)．
设平面BEF的一个法向量为m＝(x，y，1)，得到→??m·BF＝（x，y，1）·（－1，0，1）＝0，
所以m＝(1，－a，1)． ?
→??m·BE＝（x，y，1）·（0，1，a）＝0，
→
由(1)知平面CEF的一个法向量是 DB＝(1，－1，0)，
|a＋1|3→
所以|cos〈DB，m〉|＝＝cos 30°＝. 222·a＋2
所以a＝2，即CE＝2.
[B.能力提升]
1．在正四棱锥P-ABCD中，PA＝2，直线PA与平面ABCD所成角为60°，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角为( )
A．90° B．60° C．45° D．30°
解析：选C.建立如图所示的空间直角坐标系，则∠PAO＝60°，
22
所以OP＝3，OA＝1，AB＝2，P(0，0，3)，A(，－，
220)，B(
→
2222223
，，0)，C(－，，0)，E(－，，)， 2222442
223223→
，，3)，BE＝(－，－，)， 22442
AP＝(－
22→→
cos〈AP，BE〉＝＝，
2×22
→→
所以〈AP，BE〉＝45°，
即异面直线PA与BE所成角为45°.
2.如图所示，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于D，E，又SA＝AB，SB＝BC，则以BD为棱，以BDE与BDC为面的平面角的度数为( )
A．90° B．30° C．60° D．45°
解析：选C.以A为原点，以AC所在直线为y轴，以AS所在直线为z轴，以和AS，AC都垂直的直线AF为x轴，建立空间直角坐标系．
设SA＝1，
因为SA⊥平面ABC，
→
所以AS是平面ABC的一个法向量．
22
因为SA＝AB＝1，SB＝SA＋AB＝2， 又SB＝BC，所以BC＝2，
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