2019-2020年高考数学总复习第九章平面解析几何第6讲双曲线课时
作业
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、选择题
x2y2
1.(2017·台州调研)设双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的
ab渐近线方程为( ) 1
A.y＝±x
2C.y＝±2x
B.y＝±
2
x 2
D.y＝±2x
2
2
解析 因为2b＝2，所以b＝1，因为2c＝23，所以c＝3，所以a＝c－b＝2，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±答案 B
ba2
x，故选B. 2
x2y25
2.(2015·广东卷)已知双曲线C：2－2＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲
ab4
线C的方程为( ) A.－＝1
43C.－＝1 169
x2y2x2
B.－＝1 916D.－＝1 34
x2y2
y2x2y2
c522
解析 因为所求双曲线的右焦点为F2(5，0)且离心率为e＝＝，所以c＝5，a＝4，b＝c－
a4a＝9，所以所求双曲线方程为－＝1，故选C.
16
9
答案 C
2
x2y2
x22x22
3.(2016·浙江卷)已知椭圆C1：2＋y＝1(m＞1)与双曲线C2：2－y＝1(n＞0)的焦点重合，
mne1，e2分别为C1，C2的离心率，则( )
A.m＞n且e1e2＞1 C.m＜n且e1e2＞1
2
2
2
2
B.m＞n且e1e2＜1 D.m＜n且e1e2＜1
解析 由题意可得：m－1＝n＋1，即m＝n＋2， 又∵m＞0，n＞0，故m＞n.
m2－1n2＋1n2＋1n2＋1n4＋2n2＋11
又∵e·e＝2·2＝2·2＝4＝1＋＞1，∴e1·e2＞1.
mnn＋2nn＋2n2n4＋2n2
2
1
22
答案 A
4.已知F1，F2为双曲线C：x－y＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos ∠
2
2
F1PF2＝( )
1A. 43C. 4
2
2
3B. 54D. 5
解析 由x－y＝2，知a＝b＝2，c＝2. 由双曲线定义，|PF1|－|PF2|＝2a＝22， 又|PF1|＝2|PF2|，
∴|PF1|＝42，|PF2|＝22，
在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理，得 |PF1|＋|PF2|－|F1F2|3
cos ∠F1PF2＝＝.
2|PF1|·|PF2|4答案 C
5.(2017·杭州调研)过双曲线x－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐
3近线于A，B两点，则|AB|＝( ) A.43
3
B.23
2
2
2
2
2
y2
C.6 D.43
解析 由题意知，双曲线x－＝1的渐近线方程为y＝±3x，将x＝c＝2代入得y＝±23，
3即A，B两点的坐标分别为(2，23)，(2，－23)，所以|AB|＝43. 答案 D 二、填空题
6.(2015·浙江卷)双曲线－y＝1的焦距是________，渐近线方程是________.
2解析 由双曲线方程得a＝2，b＝1，∴c＝3，∴焦距为23，渐近线方程为y＝±答案 23 y＝±
2x 2
2
2
2
y2
x2
2
2x. 2
x2y2
7.(2016·北京卷)双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的
ab直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝________.
解析 取B为双曲线右焦点，如图所示.∵四边形OABC为正方形且边长为2，∴c＝|OB|＝22， π又∠AOB＝，
4
bπ
∴＝tan＝1，即a＝b. a4
又a＋b＝c＝8，∴a＝2. 答案 2
2
2
2
x2y2
8.(2016·山东卷)已知双曲线E：2－2＝1(a＞0，b＞0).若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，
abCD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________.
2b2b解析 由已知得|AB|＝，|BC|＝2c，∴2×＝3×2c.
2
2
aac?c???2
又∵b＝c－a，整理得：2c－3ac－2a＝0，两边同除以a得2??－3??－2＝0，即2e－3e?a??a?
2
2
2
2
2
2
2
－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去). 答案 2 三、解答题
9.(2017·宁波十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点P(4，－10). (1)求双曲线的方程；
→→
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1·MF2＝0. (1)解 ∵e＝2，
∴可设双曲线的方程为x－y＝λ(λ≠0). ∵双曲线过点(4，－10)， ∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线的方程为x－y＝6.
(2)证明 法一 由(1)可知，a＝b＝6， ∴c＝23，∴F1(－23，0)，F2(23，0)， ∴kMF1＝
，kMF2＝，
3＋233－23＝－. 9－123
2
2
2
22
2
mmkMF1·kMF2＝
m2m2
∵点M(3，m)在双曲线上，∴9－m＝6，m＝3， 故kMF1·kMF2＝－1，
→→
∴MF1⊥MF2.∴MF1·MF2＝0.
法二 由(1)可知，a＝b＝6，∴c＝23， ∴F1(－23，0)，F2(23，0)，
MF1＝(－23－3，－m)，MF2＝(23－3，－m)，
→→22
∴MF1·MF2＝(3＋23)×(3－23)＋m＝－3＋m， ∵点M(3，0)在双曲线上，∴9－m＝6，即m－3＝0， →→
∴MF1·MF2＝0.
10.已知椭圆C1的方程为＋y＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的
4左、右顶点分别是C1的左、右焦点. (1)求双曲线C2的方程；
→→
(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且OA·OB＞2(其中O为原点)，求k的取值范围.
2
2
→→
x2
2
x2y2
解 (1)设双曲线C2的方程为2－2＝1(a＞0，b＞0)，
ab则a＝3，c＝4，再由a＋b＝c，得b＝1. 故C2的方程为－y＝1.
3(2)将y＝kx＋2代入－y＝1，
3得(1－3k)x－62kx－9＝0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得
2
2
2
2
2
2
2
2
x2
2
x2
2
?1－3k≠0，
?222
?Δ＝（－62k）＋36（1－3k）＝36（1－k）＞0，
122
∴k≠且k＜1.①
3设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
62k9
则x1＋x2＝2，x1x2＝－2.
1－3k1－3k∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2) 3k＋7
＝(k＋1)x1x2＋2k(x1＋x2)＋2＝2.
3k－1
2
2
2
→→
又∵OA·OB＞2，得x1x2＋y1y2＞2，
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