考研数学寒假作业2
第二章 一元函数微分学习题（解答在后面）
1.设函数f(x)?ex?1e2x?2（A）??1?（C）??1?n?1?????enx?n?,其中n为正整数，则f?(0)=（ ）.
n?1?n?1?!
n!
（B）??1?
?n?1?!
n
n?1（D）??1?n!
2.设f(x?1)?af(x),f?(0)?b(a,b?0), 求f?(1).
x2f(x)?2f(x3)?（）. 3. 设函数f(x)在x?0处可导，且f(0)?0，则limx?0x3（A）?2f?(0)（B）?f?(0)（C）f?(0)（D）0
4.设函数
f?x?在x?0处连续，且limh?0f?h2?h2?1，则（）.
(A) f?0??0且f???0?存在 (B) f?0??1且f???0?存在 (C) f?0??0且f???0?存在 (D)f?0??1且f???0?存在
x2en(x?1)?ax?b5.设f(x)?lim，问a与b为何值时，f(x)可导，并求f?(x)． n(x?1)n??e?16.曲线y?x与曲线y?alnx(a?0)相切，则a?（）.
（A）4e （B）3e （C）2e （D）e
7. 设函数y?f(x)具有二阶导数，且f?(x)?0,f??(x)?0，?x?0，则（ ）. （A）0?dy??y（B）0??y?dy（C）?y?dy?0 (D)dy??y?0
28.设f(x)可导且f'(x0)?1，则?x?0时，f(x)在x0点处的微分dy是（）. 2A.与?x等价的无穷小 B.与?x同阶的无穷小 C.比?x低阶的无穷小 D.比?x高阶的无穷小
?1?cosx,x?0?9.设f(x)??，g(x)是有界函数，则f(x)在x?0处（）. x?x2g(x),x?0?（A）极限不存在
（B）极限存在，但不连续
（C）连续，但不可导
1?g(x) (D)可导
10.设函数g(x)可微，h(x)?e
（A）ln3?1. （C）?ln2?1.
,h?(1)?1,g?(1)?2，则g(1)等于（）.
（B）?ln3?1.
（D）ln2?1.
11.已知y?f?x?是由方程cos?xy??lny?x?1确定，则limn??f???1???（）.
n????2???n???（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2
d2y
12.设y?y(x)是由方程x?y?1?e所确定的隐函数，求2
dx
2y.
x?0
13.求y?xsinx(x?0)的导数?
14.求函数y?(x?1)(x?2)的导数?
(x?3)(x?4)??x?arctant15.曲线上?对应于t?1处的法线方程为________．
2??y?ln1?t16.设函数y?1(n)，则y(0)?________.
2x?32(n)17.求函数y?xln(1?x)在x?0处的n(n?3)阶导数y(0).
18. y?sinx?cosx，求y44(n).
19. 已知一个长方形的长l以2cm/s的速率增加，宽w以3cm/s的速率增加，则当
l?12cm,w?5cm时，它的对角线增加的速率为___________．
20. 设函数f(x)在使得f?(?)???0,1?上连续，在?0,1?上可导，f(1)?0，证明：在?0,1?内存在?，
．
f(?)?21.证明：当x?0时?
x?ln(1?x)?x? 1?xa?baa?b?ln?. abb22.证明：当0?b?a时，
23.设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，证明：在(0,1)内至少存在一点?，使得
ex?e?x?2x24.求lim.
x?0x?sinx25.lim(e?1)x???1x1lnx.
tan2x26.求极限lim?(tanx)x??.
42ex?2cosx?327. 计算lim.
x?0x428.求极限limx?0cosx?e
x2[x?ln(1?x)]?x2229.证明：当0?a?b??时，bsinb?2cosb??b?asina?2cosa??a. 30. 证明方程lnx?x?1在区间(0,??)内有两个实根. e431. 讨论曲线y?4lnx?k与y?4x?lnx的交点个数. 32. 函数
f(x)?ln(x?1)(x?2)(x?3)的驻点个数为（）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
233. 设f(x)?x(x?1)(x?2)，则f?(x)的零点个数为（）.
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
334.求函数f(x)?(x?4)(x?1)2的极值 .
35.求y?2x?3x?12x?14的在[?3,4]上的最大值与最小值. 36. 设函数f(x)?lnx?⑴求f(x)的最小值； ⑵设数列?xn?满足lnxn?23321 x1xn?1?1，证明极限limxn存在，并求此极限．
n??37.曲线y?(x?5)x的拐点为______.
?x?acost38.求椭圆?在(0,b)点处的曲率及曲率半径.
y?bsint?39. 假设某公司每天生产某商品Q单位时的固定成本为40元,边际成本函数为
C?(Q)?0.2Q?2（元/单位）.求
（I）总成本函数C(Q)及最小平均成本;
（II）若该商品的销售价格为20元,且商品全部售出,问每天生产多少单位该商品时获得最大利润,最大利润是多少?
（Ⅲ）当Q?60时的边际利润,并解释其经济意义.
第二章 一元函数微分学答案
1.设函数f(x)?ex?1e2x?2（A）??1?（C）??1?n?1?????enx?n?,其中n为正整数，则f?(0)=（ ）.
n?1?n?1?!
n!
x（B）??1?
?n?1?!
n
n?1（D）??1?n!
分析 f(0)?0，x?0时，e?1~x，所以用导数定义求f?(0)简单.
ex?1??e2x?2??f(x)?f(0)解f?(0)?lim?limx?0x?0x?0x所以选（A）.
2.设f(x?1)?af(x),f?(0)?b(a,b?0), 求f?(1). 分析 抽象函数求导数必须用导数的定义式. 解 f?(1)?limx?0?enx?n????1?n?1?n?1?!，
f(x?1)?f(1)af(x)?af(0)f(x)?f(0)?lim?alim?af?(0)?ab. x?0x?0xxx考点2 利用导数定义求极限
方法：y?f(x)在点x0处可导，则极限limh?0f(x0?h)?f(x0)?f?(x0)存在.
hx2f(x)?2f(x3)?（）. 3. 设函数f(x)在x?0处可导，且f(0)?0，则limx?0x3（A）?2f?(0)（B）?f?(0)（C）f?(0)（D）0 分析f(x)在x?0处可导，则极限limh?0f(0?h)?f(0)?f?(0)，再求所给极限.
h
解f(x)在x?0处可导，且f(0)?0，则极限limh?0f(0?h)?f(0)f(h)?lim?f?(0) h?0hhx2f(x)?2f(x3)f(x)f(x3)lim?lim(?23)??f?(0)3x?0x?0xxx.
所以选（B）. 4.设函数
f?x?在x?0处连续，且limh?0f?h2?h2?1，则（）.
(A) f?0??0且f???0?存在 (B) f?0??1且f???0?存在 (C) f?0??0且f???0?存在 (D)f?0??1且f???0?存在 分析 由连续及左右导数的定义即可得到答案.
解
f?x?在x?0处连续?limf?x??f?0?；limx?0h?0f?h2?h2?1?limf?h2??0
h?0从而limf?x??f?0??0
x?01?limh?0f?h2?h2?limh?0f?h2??f?0?h2?f??(0)，所以选(C).
x2en(x?1)?ax?b5.设f(x)?lim，问a与b为何值时，f(x)可导，并求f?(x)． n(x?1)n??e?1分析 由连续及左右导数的定义即可得到答案. 解：
x?1时，limen(x?1)???；x?1时，limen(x?1)?0；
n??n???x2,x?1??a?b?1?f(x)??,x?1.
2???ax?b,x?1f(x)?limf(x)?1?a?b?1. 由x?1处连续性得：lim??x?1x?1由x?1处可导性得：f??(1)?f??(1)，
f??(1)?lim?x?1ax?b?f(1)?limx?1?x?1ax?b?a?b?12?a， x?1
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