第课时 任 意 角
[核心必知]
．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材～的内容，回答下列问题．
()阅读教材“思考”的内容，你的手表慢了分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了个小时，你应当如何将它校准？在你调整的过程中，分针转动的方向有什么区别？
提示：当手表慢了分钟时，通常将分针顺时针旋转进行调整；当手表快了小时时，通常将分针逆时针旋转进行调整．故在调整的过程中两种情形分针的转动方向相反．
()体操中有“转体°”(即“转体周”)，“转体 °”(即“转体周”)这样的动作名称，而旋转的方向也有顺时针与逆时针的不同；又如图是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转，而且被动轮与主动轮有相反的旋转方向．这样，绕旋转所成的角与′绕′旋转所成的角就会有不同的方向．
利用我们以前学过的°～°范围的角，还能描述以上现象吗？
提示：要准确地描述这些现象，不仅要知道角形成的结果，而且要知道角形成的过程，即必须既要知道旋转量，又要知道旋转方向．故利用°～°范围的角，无法描述以上现象．
()阅读教材“探究”的内容，请思考：对于直角坐标系内任一条射线，以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么这些终边相同的角有什么关系？
提示：不唯一．它们之间相差°的整数倍，即相差·°(∈)． ．归纳总结，核心必记 ()角的有关概念
有关概念 定义 描述 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个 位置旋转到另一个位置所成的图形 图示 其中为顶点，为始边，为终边 记法 ()角的分类 ①
角α或∠α，或简记为α
②按角的终边位置
(ⅰ)角的终边在第几象限，则此角称为第几象限角； (ⅱ)角的终边在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限． ()终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合＝{ββ＝α＋·°，∈}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
[问题思考]
()你能说出角的三要素吗？
提示：角的三要素是顶点、终边、始边．
()如果一个角的终边与其始边重合，这个角一定是零角吗？
提示：不一定，零角的终边与始边重合，但终边与始边重合的角不一定是零角，如 °，－°等．
()一条射线绕端点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大，这样说对吗？
提示：不对，如果一条射线绕端点按顺时针方向旋转，则它形成负角，旋转的圈数越多，则这个角越小．
()在坐标系中，将轴的正半轴绕坐标原点顺时针旋转到轴的正半轴形成的角为 °，这种说法是否正确？
提示：不正确，在坐标系中，将轴的正半轴绕坐标原点
旋转到轴的正半轴时，是按顺时针方向旋转的，故它形成的角为－°. ()当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？
提示：不是的．虽然始、终边确定了，但旋转的方向和旋转量的大小并没有确定，所以角也就不能确定．
()初中我们学过对顶角相等．依据现在的知识试判断一下图中角α，β是否相等？
提示：不相等．角α为逆时针方向形成的角，α为正角；角β为顺时针方向形成的角，
β为负角．
[课前反思]
()角的概念： ；
()角的分类： ；
()终边相同的角： ．
[思考] 终边相同的角一定是相等的角吗？它们之间有什么关系？如何把这一类角表示出来？
名师指津：不一定．相等的角的终边一定相同，但终边相同的角不一定相等，它们相差°的整数倍．可以用集合{ββ＝α＋·°，∈}表示．
[思考] 区域角是指终边落在坐标系的某个区域的角，区域角如何表示？
名师指津：区域角可以看作是某一范围内的终边相同角的集合．故可把区域的起始、终止边界表示出来，然后组成集合即可．
讲一讲
．()写出与α＝－ °终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－°≤β＜°的元素β写出来．
()分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．
()写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．
[尝试解答]()与角α＝－ °终边相同的角的集合为{ββ＝－ °＋·°，∈}． ∵－°≤β＜°，
∴－°≤－ °＋·°＜°，≤＜. 故＝，，，
＝时，β＝－ °＋×°＝－°. ＝时，β＝－ °＋×°＝－°. ＝时，β＝－ °＋×°＝°.
()①在°～°范围内，终边在直线＝上的角有两个，即°和°，因此，所有与°角终边相同的角构成集合＝{ββ＝°＋·°，∈}，而所有与°角终边相同的角构成集合＝{ββ＝°＋·°，∈}，于是，终边在直线＝上的角的集合为＝∪＝{ββ＝·°，∈}．
②由图形易知，在°～°范围内，终边在直线＝－上的角有两个，即°和°，因此，终边在直线＝－上的角的集合为＝{ββ＝°＋·°，∈}∪{ββ＝°＋·°，∈}＝{ββ＝°＋·°，∈}．
③终边在直线＝上的角的集合为{ββ＝°＋·°，∈}，结合②知所求角的集合为＝{ββ＝°＋·°，∈}∪{ββ＝°＋·°，∈}＝{ββ＝°＋·°，∈}∪{ββ＝°＋(＋)·°，∈}＝{ββ＝°＋·°，∈}．
()终边落在位置上的角的集合为{αα＝°＋°＋·°，∈}＝{αα＝°＋·°，∈}，终边落在位置上的角的集合为{ββ＝－°＋·°，∈}．
故阴影部分角的集合可表示为{α－°＋·°≤α≤°＋·°，∈}．
()在°～°范围内找与给定角终边相同的角的方法
①把任意角化为α＋·°(∈且°≤α＜°)的形式，关键是确定.可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．
②要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出的值．
()区域角的写法可分三步
①按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；
②由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的角；
③用不等式表示区域内的角，组成集合． 练一练
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