第6讲 几何概型
一、选择题
1.在区间[－2，3]上随机选取一个数x，即x≤1，故所求的概率为( ) 4A.5
3B.5
2C.5
1 D.5
3
解析 在区间[－2，3]上随机选取一个数x，且x≤1，即－2≤x≤1，故所求的概率为P＝5. 答案 B
2.如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一粒豆1
子，它落在阴影区域内的概率是3，则阴影部分的面积是( ) πA.3
B.π
C.2π
D.3π
S1＝3，S′
解析 设阴影部分的面积为S，且圆的面积S′＝π·32＝9π.由几何概型的概率，得则S＝3π. 答案 D
?1?3.(2015·山东卷)在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log1?x＋2?≤1”发生的概率
??2为( ) 3A.4
2 B.3
1 C.3
1 D.4
11?1?
解析 由－1≤log1?x＋2?≤1，得2≤x＋2≤2，
??23?1?解得0≤x≤2，所以事件“－1≤log1?x＋2?≤1”发生的
??2323
概率为2＝4，故选A. 答案 A
4.(2017·东北师大附中检测)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是( )
πA.2 π B.4 π C.6 πD.8
12π×12阴影面积π
解析 设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，则P(A)＝＝＝4.
长方形面积1×2答案 B
5.在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1 内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为( ) π
A.12
πB.1－12
π C.6
πD.1－6
解析 设“点P到点O的距离大于1”为事件A.
则事件A发生时，点P位于以点O为球心，以1为半径的半球的外部. 412
∴V正方体＝23＝8，V半球＝3π·13×2＝3π.
223－3π23π＝1－12.
∴P(A)＝
答案 B
6.已知△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为( ) 1A.6
1B.3 1C.2
2 D.3
解析 如图，当BE＝1时，∠AEB为直角，则点D在线段BE(不包含B，E点)上时，△ABD为钝角三角形；当BF＝4时，∠BAF为直角，则点D在线
1＋2
段CF(不包含C，F点)上时，△ABD为钝角三角形.所以△ABD为钝角三角形的概率为6＝12. 答案 C
?0≤x≤2，
7.设不等式组?表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点
0≤y≤2?的距离大于2的概率是( ) π
A.4
B.π－22
πC.6
D.4－π4
域D，且区于2的区域，
解析 如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的区域D的面积为4，而阴影部分表示的是区域D内到原点距离大
4－π
易知该阴影部分的面积为4－π，因此满足条件的概率是4.故选D. 答案 D
8.(2017·华师附中联考)在区间[0，4]上随机取两个实数x，y，使得x＋2y≤8的概率为( ) 1A.4 3 B.16
9 C.16
3 D.4
正方形及其
解析 由x，y∈[0，4]知(x，y)构成的区域是边长为4的内部，其中满足x＋2y≤8的区域为如图所示的阴影部分. 易知A(4，2)，S正方形＝16， S阴影＝
（2＋4）×4
＝12.故“使得x＋2y≤8”的概率P＝2
S阴影3
＝. S正方形4
答案 D
1
9.已知正三棱锥S－ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP－ABC＜2VS
－ABC
的概率是( )
3
B.4
1 C.2
1 D.4
7A.8
3
解析 当点P到底面ABC的距离小于2时， 1
VP－ABC＜2VS－ABC.
?1?37
由几何概型知，所求概率为P＝1－?2?＝8.
??答案 A
10.设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为( ) 31
A.4＋2π
11B.2＋
π
11 C.2－
π
11D.4－
2π
错误!≤1，即
解析 因为复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)且|z|≤1，所以|z|＝(x－1)2＋y2≤1，
即点(x，y)在以(1，0)为圆心、1为半径的圆及其内部，而y≥x
表示直线y＝
x左上方的部分(图中阴影弓形)，所以所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，即P＝121·π·1－2×1×1411
＝4－. 2π·12π答案 D 二、填空题
5
11.在区间[－2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为6，则m＝________. 解析 由|x|≤m，得－m≤x≤m.
2m5
当m≤2时，由题意得6＝6，解得m＝2.5，矛盾，舍去. m－（－2）5
当2＜m＜4时，由题意得＝6，解得m＝3.
6答案 3
12.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A－A1BD内的概率为________. 11
解析 因为VA－A1BD＝VA1－ABD＝3AA1×S△ABD＝6×AA1×S
矩形ABCD
VA－A1BD11
＝6V长方体，故所求概率为＝6. V长方体
1
答案 6
13.(2016·山东卷)在[－1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交”发生的概率为________.
解析 直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交的充要条件是圆心(5，0)到直线y＝kx的距离小于3.
3?3??－?4－?4?|5k－0|333
则2＜3，解之得－4＜k＜4，故所求事件的概率P＝＝4. 1－（－1）k＋13
答案 4
14.(2017·唐山模拟)如图，将半径为1的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分).现在往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为________.
解析 顺次连接星形的四个顶点，则星形区域的面积等于(2)2－
4－π?1212?2
×π×1－×1?＝4－π，又因为圆的面积等于π×1＝π，因此所求的概率等于4?4＝2??π4
－1. π答案
4－1 π
1
15.在区间[－1，4]内取一个数x，则2x－x2≥4的概率是( )
1A.2 1B.3 2 C.5 3D.5
1
解析 由2x－x2≥4，得－1≤x≤2.又－1≤x≤4. 2－（－1）3
∴所求事件的概率P＝＝. 4－（－1）5答案 D
16.如图，“天宫一号”运行的轨迹是如图的两个类同心圆，小圆的半径为2 km，大圆的半径为4 km，卫星P在圆环内无规则地自由运动，运行过程中，则点P与点O的距离小于3 km的概率为( ) 1A.12
5B.12 1C.3
1 D.5
解析 根据几何概型公式，小于3 km的圆环面积为π(32－22)＝5π；圆环总面积为π(42－22)5π5
＝12π，所以点P与点O的距离小于3 km的概率为P(A)＝＝12. 12π答案 B
17.已知平面区域D＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，在区域D内任取一点，则取到的点位于直线y＝kx(k∈R)下方的概率为( ) 1A.2
1B.3 2 C.3 3 D.4
解析 由题设知，区域D是以原点为中心的正方形，根据图形的对称性知，直线y＝kx将其1
面积平分，如图，故所求概率为2.
答案 A
1??
18.(2017·长春质检)在区间[0，π]上随机取一个实数x，使得sin x∈?0，2?的概率为( )
??A.1
π
B.
2 π
1 C.3 2 D.3
1
解析 由0≤sin x≤2，且x∈[0，π]， π??5??
解之得x∈?0，?∪?6π，π?.
6????
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