第二讲 导数应用（学生）

第三讲 导数的应用

一 【考点提示】

1.利用导数的符号判断函数的单调性：

_____________________________________________________________________________________________________________________________. 2.求可导函数单调区间的一般步骤：

（1）______________________________________________; （2）______________________________________________; （3）______________________________________________; （4）______________________________________________. 3.函数极值的概念：

_____________________________________________________________________________________________________________________________. 4.求可导函数f(x)极值的一般步骤：

（1）______________________________________________; （2）______________________________________________; （3）______________________________________________; （4）______________________________________________.

5.函数的最大值、最小值：

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________. 6.求函数的最大值与最小值的一般步骤：

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.

7.不等式恒成立与存在性问题： （1）分离参数：

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________

（2）分类讨论：

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________

（3）确定主元：

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________

（4）利用集合与集合间的关系：

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________

（5）数形结合：

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

二 【典例分析】

1.导数的概念与运算 例1、（2011江西）若f(x)?x???x??lnx，则f'(x)??的解集为

-?，?）?（，?+?） A. (?,??) B. （ C. (?,??) D. (-?,?)

sin?33cos?2?5??练习：设函数f(x)?x?x?tan?，其中???0,?，则导数f(1)的取

32?12?值范围是

? （C）?3,2? （D）?2,2?（A）．??2,? （B）. ??2,3?????

例2设函数f(x)在R上的导函数为f'(x),且2f(x)?xf'(x)?x2,下面的不等式在R内恒成立的是

A f(x)?0 B f(x)?0 C f(x)?x Df(x)?x

练习：1.设f(x)?xlnx，若f'(x0)?2，则x0?（ ）

ln2A. e2 B. e C. D. ln2

2

2.设P为曲线C：y?x2?2x?3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围

?为[0,]，则P横坐标的取值范围为（ ）

411 A.[?1,?]B.[?1,0]C.[0,1]D.[,1]

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2.导数的几何意义

sinx1?0)处的切线的斜率为（ ） ?在点M(，例3曲线y?4sinx?cosx2A．?

4上，?为曲线在点P处的切线的倾斜角，则?的取值ex?1范围是___________________.

例4 若曲线f?x??ax2?Inx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是

1122 B． C．? D．

2222练习：已知点P在曲线y=

1x?b是曲线y?lnx(x?0)的一条切线，则实数2b=_________________.

练习：直线y?2

3.应用导数研究函数的单调性

例5【2009年全国1文，21】已知函数f(x)?x4?3x2?6. （1）讨论f(x)的单调性；

（2）设点P在曲线y?f(x)上，若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点，求l的方程.

练习：【2011年辽宁理，11】函数f(x)的定义域为R，f(-1)?2，对任意x∈R，f'(x)?2，则f(x)?2x?4的解集为

A（-1，1） B（-1，+?） C（-?，-1） D（-?，+?）

4.函数的极值与最值的求解

例6 【2004年天津文，21】已知函数f(x)?ax3?cx?d(a?0)是R上的奇函数，当x?1时f(x)取得极值?2.

（1）求f(x)的单调区间和极大值；

（2）证明对任意x1,x2?(?1,1),不等式|f(x1)?f(x2)|?4恒成立.

练习：【2011年湖南理，8】设直线x=t 与函数f(x)?x2， g(x)?lnx 的图像分别交于点M,N,则当MN达到最小时t的值为（ ）

A.1 B.

521 C. D.

222

5.讨论含参函数的单调区间

例7【2011广东文】设a?0，讨论函数f(x)?lnx?a(1-a)x2-2(1-a)x的单调性.

练习：1.【2009年重庆理，18】设函数f(x)?ax2?bx?k(k?0)在x?0处取得极值，且曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线x?2y?1?0． （1）求a,b的值；

ex（2）若函数g(x)?，讨论g(x)的单调性．

f(x)

x2?a2.【2010北京海淀期末理】已知函数f(x)?（其中a?R）.

x?11（1）若函数f(x)在点(1,f(1))处的切线为y?x?b，求实数a,b的值

2（2）求函数f(x)的单调区间.

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