【走向高考】（全国通用）2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题
强化练 专题22 随机变量及其分布列 理（含解析）
一、解答题
1．(2014·安徽理，17)甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，2若赛完 5 局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙
31
获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．
3
(1)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率；
(2)记 X 为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望)．
[分析] ①甲在四局内赢得比赛，即甲前两局胜，或第一局败，二、三局胜，或第一局胜，第二局败，第三、四局胜．
②比赛总局数最少2局，最多5局，求概率时，既要考虑甲胜结束，又要考虑乙胜结束． ③由于各局比赛结果相互独立，故按独立事件公式计算积事件的概率．
[解析] 用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，Ak表示“第k局甲获胜”，Bk21
表示“第k局乙获胜”，则P(Ak)＝，P(Bk)＝，k＝1,2,3,4,5.
33
(1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4)
221222122
＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＝()＋×()＋××()＝
33333356
. 81
(2)X的可能取值为2,3,4,5.
P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)
5
＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2)＝，
9
P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3)
2
＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝，
9
P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)
10
＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)＝，
81
P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝.
1
881
故X的分布列为
X P 59
29
1081
2 5 93 2 94 10 815 8 81E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝8224. 8181
[方法点拨] 1.求复杂事件的概率的一般步骤： 1°列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示； 2°理清各事件之间的关系，列出关系式；
3°根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算．
2．直接计算符合条件的事件的概率较繁时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．
3．要准确理解随机变量取值的意义，准确把握每一个事件所包含的基本事件，然后依据类型代入概率公式进行计算．
4．概率与统计知识结合的问题，先依据统计知识明确条件，求出有关统计的结论，再将所求问题简化为纯概率及其分布的问题，依据概率及其分布列、期望、方差的知识求解．
5．离散型随机变量的分布列的性质： 设离散型随机变量X的分布列为：
X P x1 p1 x2 p2 ? ? xi pi ? ? xn pn 则①pi≥0，i＝1,2，?，n； ②p1＋p2＋?＋pi＋?＋pn＝1.
2．(2015·重庆理，17)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．
(1)求三种粽子各取到1个的概率；
(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．
[分析] 考查了古典概型的概率以及分布列、数学期望，属于简单题型．(1)由古典概型概率公式计算；(2)从含有2个豆沙粽的10个粽子中取3个，据此可得出X的可能取值及其概率，列出分布列求得期望．
[解析] (1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，由古典概型的概率计算公式有 C2C3C51
P(A)＝3＝.
C104
(2)X的可能取值为0,1,2，且 C87
P(X＝0)＝3＝，
C1015
2
3
111
C2C87
P(X＝1)＝3＝，
C1015C2C81
P(X＝2)＝3＝ C1015综上知，X的分布列为：
21
12
X P 0 7 151 7 152 1 157713故E(X)＝0×＋1×＋2×＝(个)
1515155
[方法点拨] 如果题目条件是从含A类物品M件，总数为N的A、B两类物品中，抽取
n件，其中含有A类物品件数X为随机变量，则按超几何分布公式直接计算．
请练习下题：
一盒中有12个零件，其中有3个次品，从盒中每一次取出一个零件，取后不放回，求在取到正品前已取次数X的分布列和期望．
[分析] 由于题设中要求取出次品不再放回，故应仔细分析每一个X所对应的事件的准确含义．据此正确地计算概率p.
[解析] X可能的取值为0、1、2、3这四个数，而X＝k表示，共取了k＋1次零件，前k次取得的是次品，第k＋1次取得正品，其中k＝0、1、2、3.
(1)当X＝0时，第1次取到正品，试验中止，此时 C93
P(X＝0)＝1＝.
C124
(2)当X＝1时，第1次取到次品，第2次取到正品， C3C99
P(X＝1)＝1×1＝.
C12C1144
(3)当X＝2时，前2次取到次品，第3次取到正品， C3C2C99
P(X＝2)＝1×1×1＝. C12C11C10220当X＝3时，前3次将次品全部取出， C3C2C11
P(X＝3)＝1×1×1＝. C12C11C10220所以X的分布列为：
1
1
1
1
1
1
1
1
1
X P E(X)＝0×＋1×＋2×
34
944
0 3 41 9 442 9 2203 1 220913＋3×＝. 22022010
3
3．(2014·石家庄质检)某商场为了了解顾客的购物信息，随机的在商场收集了100位顾客购物的相关数据，整理如下： 一次购物款 (单位：元) 顾客人数 [0,50) [50,100) 20 [100,150) 30 [150,200) [200，＋∞) 10 m n 统计结果显示：100位顾客中购物款不低于100元的顾客占60%.据统计该商场每日大约有5000名顾客，为了增加商场销售额度，对一次性购物不低于100元的顾客发放纪念品(每人一件)．(注：视频率为概率)
(1)试确定m、n的值，并估计该商场每日应准备纪念品的数量；
(2)现有4人去该商场购物，求获得纪念品的人数ξ的分布列与数学期望． [解析] (1)由已知，100位顾客中购物款不低于100元的顾客有n＋40＝100×60%，
n＝20；
m＝100－(20＋30＋20＋10)＝20.
60
该商场每日应准备纪念品的数量大约为5000×＝3000件．
100(2)由(1)可知1人购物获得纪念品的频率即为概率
p＝603＝. 1005
3
故4人购物获得纪念品的人数ξ服从二项分布B(4，)．
5
04
P(ξ＝0)＝C04()()＝
3
535353535
2525252525
16， 62596， 625216， 625216， 625
13
P(ξ＝1)＝C14()()＝
22P(ξ＝2)＝C24()()＝
31P(ξ＝3)＝C34()()＝
40P(ξ＝4)＝C44()()＝
81
， 625
ξ的分布列为
ξ 0 16 6251 96 6252 216 6253 216 6254 81 625P 16962162168112
ξ数学期望为E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝. 6256256256256255
4
312
或由E(ξ)＝4×＝.
55
[方法点拨] 1.独立重复试验与二项分布
一般地，如果在一次试验中事件A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中，事件
kn－kA恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Ck(k＝0,1,2，?，n)．称事件A发生的次数Xnp(1－p)
服从参数为n、p的二项分布．
若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
2．离散型随机变量的期望：设离散型随机变量X的分布列为
X P x1 p1 x2 p2 ? ? xi pi ? ? xn pn 22
则E(X)＝x1p1＋x2p2＋?＋xipi＋?＋xnpn，D(X)＝(x1－E(X))p1＋(x2－E(X))p2＋?＋(xn－E(X))pn.
3．准确辨别独立重复试验的基本特征(①在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；②在每次试验中，事件发生的概率相同)，牢记公式Pn(k)＝Cnp(1－p)0,1,2，?，n，并深刻理解其含义，是解二项分布问题的关键．
4．对于复杂事件，要先辨析其构成，依据互斥事件，或者相互独立事件按事件的和或积的概率公式求解，还要注意含“至多”，“至少”类词语的事件可转化为对立事件的概率求解．
请练习下题：
为了了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的身体素质，学校对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为123，其中第2小组的频数为12.
kkn－k2
，k＝
(1)求该校报考飞行员的总人数；
(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中(人数很多)任选3人，设X表示体重超过60kg的学生人数，求X的分布列和数学期望．
[分析] 先由频率直方图中前三组频率的比及第2小组频数及频率分布直方图的性质求出n的值和任取一个报考学生体重超过60kg的概率．再由从报考飞行员的学生中任选3人知，这是三次独立重复试验，故X服从二项分布．
5
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