2021版高考数学（人教A版理科）一轮复习攻略核心素养测评 十三

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核心素养测评 十三

变化率与导数、导数的计算 (25分钟 50分)

一、选择题(每小题5分,共35分) 1.下列求导运算正确的是 ( ) A.

′=1+

B.(log2x)′=

C.(5x)′=5xlog5x D.(x2cos x)′=-2xsin x 【解析】选B.A.

′=1-,故错误;

B.符合对数函数的求导公式,故正确; C.(5x)′=5xln 5,故错误;

D.(x2cos x)′=2xcos x-x2sin x,故错误. 2.若函数f(x)=

,则f′(0)等于 ( )

A.1 B.0 C.-1 D.-2 【解析】选A.函数的导数 f′(x)=

,

- 1 -

则f′(0)==1.

3.某炼油厂的一个分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x小时时,原油温度(单位:℃)为f(x)=x3-x2+8(0≤x≤5), 那么,原油温度的瞬时变化率的最小值是 ( )

A.8 B. C.-1 D.-8 【解析】选C.因为f(x)=x3-x2+8(0≤x≤5), 所以f′(x)=x2-2x=

-1,

又0≤x≤5, 故当x=1时,f′(x)有最小值-1,即原油温度的瞬时变化率的最小值是-1.

4.(2020·广元模拟)已知函数f(x)=x2+cos x,则其导函数f′(x)的图象大致是

( )

【解析】选A.因为f′(x)=x-sin x,这是一个奇函数,图象关于原点对称,故排除B,D两个选项.f′

=×-<0,故排除C.

在点

处的切线的斜率为,则n=( )

5.(2020·新乡模拟)若曲线y=

A.2 B.3 C.4 D.5

- 2 -

【解析】选D.因为导函数为y′=所以y′|x=1=6.设曲线y=

=,所以n=5.

,

在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a= ( )

A.2 B. C.- D.-2

【解析】选D.y′==-,

=-=-,又因为切线与直线ax+y+1=0垂直,且直线ax+y+1=0的斜率

为-a.所以a=-2.

7.直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切时,a= ( ) A.-1 B.1 C.-2 D.2

【解析】选D.设切点P(x0,y0),则y0=x0+1,且y0=ln(x0+a),又因为切线方程y=x+1的斜率为1,即y′|

=

=1,所以x0+a=1,

所以y0=0,x0=-1,所以a=2. 二、填空题(每小题5分,共15分)

8.(2019·南昌模拟)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,其导函数为f′(x),且 f(ln x)=x+ln x,则f′(1)=________. 【解析】因为f(ln x)=x+ln x, 所以f(x)=x+ex,

所以f′(x)=1+ex,所以f′(1)=1+e1=1+e.

- 3 -

答案:1+e

9.已知函数y=f(x)的图象在x=2处的切线方程是y=3x+1,则f(2)+f′(2) =________. 【解析】由题意可知f(2)=3×2+1=7, f′(2)=3,所以f(2)+f′(2)=10. 答案:10 【变式备选】

如图,y=f(x)是可导函数,直线l是曲线y=f(x)在x=4处的切线,令g(x)=g′(4)=________.

,则

【解析】由题图知,切线过(0,3),(4,5),所以直线l的斜率为

=,

由于曲线在切点处的导数值为曲线的切线的斜率,所以f′(4)=,f(4)=5. 由g(x)=故g′(4)=答案:-

10.(2018·全国卷II)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为__________________. 【解析】y′=

,k=

=2,

,得g′(x)=

=-.

,

- 4 -