2021版高考数学（人教A版理科）一轮复习攻略核心素养测评 十三

所以切线方程为y-0=2(x-0),即y=2x. 答案:y=2x

(15分钟 35分)

1.(5分)已知函数f(x)=x2+2xf′A.fC.f

>f

B.f

=f

,则f

与f

的大小关系是 ( )

D.不能确定

,

【解析】选A.由函数的解析式可得:f′(x)=2x+2f′令x=1可得:f′则f′故f

=2+2f′

,

=-2,故函数的解析式为f(x)=x2-4x,据此可知f>f

.

=5,f=-3,

2.(5分)(2020·太原模拟)已知点P是直线y=2x-4上的动点,点Q是曲线y=x+ex上的动点,则|PQ|的最小值为 ( ) A.5 B.C.e+3 D.

),y=x+ex?y′=1+ex,k=1+,即|PQ|的最小值为

. =2

【解析】选B.设曲线y=x+ex上切点为M(x0,x0+?x0=0?M(0,1),M(0,1)到直线y=2x-4的距离为

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3.(5分)函数f(x)=sin x+aex的图象过点(0,2),则曲线y=f(x)在(0,2)处的切线方程为______.

【解析】由函数f(x)=sin x+aex的图象过点(0,2),

可得:a=2,由函数f(x)=sin x+2ex,可得f′(x)=cos x+2ex,曲线y=f(x)在(0,2)处的切线的斜率为3.所以在(0,2)处的切线方程为:y-2=3x,即3x-y+2=0. 答案:3x-y+2=0

4.(10分)已知P(-1,1),Q(2,4)是曲线y=x2上的两点. (1)在曲线y=x2上分别求过点P,Q的切线方程. (2)求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程. 【解析】(1)因为y′=2x,

所以过点P,Q的切线斜率分别为-2,4, 所以过点P的切线方程为:y-1=-2(x+1); 即y=-2x-1;过点Q的切线方程为: y-4=4(x-2);即y=4x-4. (2)设切点为

,kPQ=

=1,

因为切线和直线PQ平行,且切线的斜率为2x0, 所以2x0=1,所以x0=,所以切点为,

所以切线方程为y-=x-,即y=x-.

5.(10分)已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R).

(1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求a,b的值. (2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,求a的取值范围.

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【解析】f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2). (1)由题意得

解得b=0,a=-3或a=1.

(2)因为曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,

所以关于x的方程f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0有两个不相等的实数根, 所以Δ=4(1-a)2+12a(a+2)>0,

即4a2+4a+1>0,所以a≠-.所以a的取值范围为

∪

.

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