南京市2014届高三年级第二次模拟考试
数 学
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． ．．．参考公式：
柱体的体积公式：V＝Sh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高．
圆柱的侧面积公式：S侧＝2πRh，其中R为圆柱的底面半径，h为圆柱的高．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答
题纸的指定位置上）
1．函数f(x)＝lnx＋1－x的定义域为 ▲ ．
2．已知复数z1＝－2＋i，z2＝a＋2i(i为虚数单位，a∈R)．若z1z2为实数，则a的值为 ▲ ． 3．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[300，350)内的学生人数共有 ▲ ．
a 0.005 0.004 0.003 0.001 频率组距 成绩/分
(第3题图)
O 150 200 250 300 350 400 450 4．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 ▲ ． 开始 k←1 a1
5．已知等差数列{an}的公差d不为0，且a1，a3，a7成等比数列，则的值为 ▲ ． d6．执行如图所示的流程图，则输出的k的值为 ▲ ．
S←1 S←S＋(k－1)2 k←k＋1 S＞6 N Y 输出k 结束 (第6题图)
- 1 -
7．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如下图π
所示，则f()的值为 ▲ ．
3
O π6 －2 (第7题图)
· 11πx 12 y 2 x2y22
8．在平面直角坐标系xOy中，双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y＝4x的
ab准线相交于A，B两点．若△AOB的面积为2，则双曲线的离心率为 ▲ ． 9．表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为 ▲ ． 2π→1→1→→→→→10．已知|OA|＝1，|OB|＝2，∠AOB＝，OC＝OA＋OB，则OA与OC的夹角
324大小为 ▲ ．
11．在平面直角坐标系xOy中，过点P(5，3)作直线l与圆x＋y＝4相交于A，B两点，若
2
2
OA⊥OB，则直线l的斜率为 ▲ ．
12．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x，当x＞0时，f(x＋1)＝f(x)
＋f(1)，且．
若直线y＝kx与函数y＝f(x)的图象恰有5个不同的公共点，则实数k的值为 ▲ ． 13．在△ABC中，点D在边BC上，且DC＝2BD，AB∶AD∶AC＝3∶k∶1，则实数k的取值范围为 ▲ ．
14．设函数f(x)＝ax＋sinx＋cosx．若函数f(x)的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y＝f(x)在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为 ▲ ． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.
5
1．(0，1] 2．4 3．300 4． 5．2 6．4 7．1
91757
8．5 9． 10．60° 11．1或 12．22－2 13．(，) 14．[－
223331，1]
二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
- 2 -
2
15．(本小题满分14分)
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，
BP＝BC，E为PC的中点．
（1）求证：AP∥平面BDE； （2）求证：BE⊥平面PAC． 15．证：（1）设AC∩BD＝O，连结OE．
B
P A E
D
C (第15题图)
因为ABCD为矩形，所以O是AC的中点．
因为E是PC中点，所以OE∥AP． …………………………………………4分
因为AP/平面BDE，OE平面BDE， 所
以
AP∥平面
BDE． …………………………………………6分
（2）因为平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，平面PAB∩平面ABCD＝AB， 所
以
BC⊥平面
PAB． ………………………………………8分
因为AP平面PAB，所以BC⊥PA．
因为PB⊥PA，BC∩PB＝B，BC，PB平面PBC，
所以PA⊥平面PBC． …………………………………………12分
因为BE平面PBC，所以PA⊥BE．
因为BP＝PC，且E为PC中点，所以BE⊥PC． 因为PA∩PC＝P，PA，PC平面PAC， 所
以
BE⊥平面
PAC． …………………………………………14分
16．(本小题满分14分)
- 3 -
在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点是坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O交
πππ
于点A(x1 ，y1 )，α∈(，)．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆于
424点B(x2，y2)．
3
（1）若x1＝，求x2；
5
（2）过A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，记△AOC及 4
△BOD的面积分别为S1，S2，且S1＝S2，求tanα的值．
33
16．解：（1）解法一：因为x1＝，y1＞0，所以y1＝
5
4
1－x21＝．
5
(第16题图) D O y B A C x 43
所以sinα＝，cosα＝． ………………………2分
55
所以
x2＝cos(α＋
πππ
)＝cosαcos－sinαsin＝－444
2
． …………………………………6分 10
3
解法二：因为x1＝，y1＞0，所以y1＝
5分
342 →→→→→
OB＝(x2，y2)， 因为OA·OB＝|OA||OB|cos∠AOB，所以x2＋y2＝ ……4分
552 又x2＋y2＝1，联立消去y2得50 x2－302x2－7＝0 解得x2＝－分
3
解法三：因为x1＝，y1＞0，所以y1＝
52分
π1＋tanα 所以tan(α＋)＝＝－7，所以直线OB的方程为y＝－7x ……………
41－tanα4分 由?（
2
?y＝－7x，
2
2
2
2
2
434→34
1－x21＝．A(，)，则OA＝(，)，…………2
55555
2 722
或，又x2＜0，所以x2＝－． ………………………6101010
4344
1－x2 因此A(，)，所以tanα＝．………1＝．
5553
2 2
得x＝±，又x2＜0，所以x2＝－． …………………6分 1010?x＋y＝1．
）
S1＝
1
2
sinαcosα＝－
14
sin2α． …………………………………………8分
因为α∈(
ππ4，ππ3π)，所以α＋∈(，)． 2424
1ππ1π1
sin(α＋)cos(α＋)＝－sin(2α＋)＝－244424
- 4 -
所以S2＝－
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