cos2α．……………………………10分 因为
S1＝
4
S2，所以3
sin2α＝－
4
cos2α，即3
tan2α＝－
4
． …………………………………12分 3
2tanα41ππ 所以＝－，解得tanα＝2或tanα＝－． 因为α∈(，)，所以tanα2
1－tanα3242＝2．………14分 17．(本小题满分14分)
如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N (异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)． 解法一：设∠AMN＝θ，在△AMN中，
＝．
sin60°sin(120°－θ)
C MNAMP
N 43
因为MN＝2，所以AM＝sin(120°－θ) ． ………………2分
3
在△APM中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ)． …………………6分
AP2＝AM2＋MP2－2 AM·MP·cos∠AMP
A
(第17题图)
M B
16432
＝sin(120°－θ)＋4－2×2× sin(120°－θ) cos(60°＋
33
θ) ………………………………8分
＝
161632
sin(θ＋60°)－ sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4 33
883＝[1－cos (2θ＋120°)]－ sin(2θ＋120°)＋4 33820＝－[3sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋
33＝
20
3
－
163
sin(2θ＋
150°)
，
θ∈(0，
120°)． …………………………………………12分
当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值23．
答：设计∠AMN为60
时，工厂产生的噪声对居民的影响最
小．……………………………………14分
解法二(构造直角三角形)：
N
C - 5 -
P
设∠PMD＝θ，在△PMD中，
∵PM＝2，∴PD＝2sinθ，MD＝2cosθ． ……………2分 在△AMN中，∠ANM＝∠PMD＝θ，∴＝，
sin60°sinθMNAMAM＝4343π
sinθ，∴AD＝sinθ＋2cosθ，(θ≥时，结论也正确)．……………6分 332
4322
sinθ＋2cosθ)＋(2sinθ)3
2
AP2＝AD2＋PD2＝(
＝
2
163
sinθ＋
833
sinθcosθ＋4cosθ2
＋
4sinθ …………………………8分 161－cos2θ4343820＝·＋sin2θ＋4＝sin2θ－cos2θ＋ 323333
2016π2π
＝＋sin(2θ－)，θ∈(0，)． …………………………336312分
πππ 2
当且仅当2θ－＝，即θ＝时，AP取得最大值12，即AP取得最大值23．
623 此时AM＝AN＝2，∠PAB＝30° …………………………14分 解法三：设AM＝x，AN＝y，∠AMN＝α．
在△AMN中，因为MN＝2，∠MAN＝60°， 所以MN＝AM＋AN－2 AM·AN·cos∠MAN， 即
2
2
2
x2
＋
y2
－2xycos60°＝
x2
＋
y2
－xy＝
4． …………………………………………2分
MNAN2y因为＝，即＝，
sin60°sinαsin60°sinα所
以
sinα＝
3
4
y，cosα＝
x2＋4－y22×2×x＝
x2＋(x2－xy)
4x＝
2x－y． …………………………………………6分 4
cos∠AMP＝cos(α＋60°)＝
1312x－y33cosα－sinα＝·－·y＝222424
x－2y4
．……………………………8分
2
2
2
在△AMP中，AP＝AM＋PM－2 AM·PM·cos∠AMP， 即
AP2＝x2＋4－2×2×x×
x－2y4
＝x＋4－x(x－2y)＝4＋
2
2xy．………………………………………12分
- 6 -
因为x＋y－xy＝4，4＋xy＝x＋y≥2xy，即xy≤4． 2
所以AP≤12，即AP≤23．
当且仅当x＝y＝2时，AP取得最大值23．
答：设计AM＝AN＝2 km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．………………………………14分
解法四(坐标法)：以AB所在的直线为x轴，A为坐标原点，建立直角坐标系．
设M(x1，0)，N(x2，3x2)，P(x0，y0)．∵MN＝2， ∴
(x1
－
2222
x2)2
＋3x22
＝
4． …………………………………………2分
x1＋x23
MN的中点K(，x2)．
2
2
∵△MNP为正三角形，且MN＝2．∴PK＝3，PK⊥MN． ∴PK＝(x0－
2
x1＋x2
2
)＋(y0－
2
32
x2)＝3， 2
3x223x2
kMN·kPK＝－1，即·＝－1， …………………………………………
x2－x1x1＋x2
x0－
2
y0－
6分
3x1－x2x1＋x232(x1－x2)x1＋x22
∴y0－x2＝(x0－)，∴(y0－x2)＝(x0－)
222223x23x2
(x1－x2)x1＋x224x1＋x22x1＋x2292∴(1＋)(x0－)＝3，即(x0－)＝3，∴(x0－)＝x2．
2222243x23x2∵x0－
2
2
x1＋x2
2
＞0 ∴x0－
x1＋x23
2
＝x2，
2
13
∴x0＝x1＋2x2，∴y0＝x1． …………………………………………
228分
22＝(2x2＋1x1)2＋3x2＝x2＋4x2＋2x1x2
∴AP＝x2＋y0022411
＝4＋4x1x2≤4＋4×2＝12， …………………………………………12分
- 7 -
即AP≤23．
答：设计AM＝AN＝2 km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分
解法五(变换法)：以AB所在的直线为x轴，A为坐标原点，建立直角坐标系．
设M(x1，0)，N(x2，3x2)，P(x0，y0)．
222∵MN＝2，∴(x1－x2)＋3x22＝4．即x1＋4x2＝4＋2x1x2
y C P N ∴4＋2x1x2≥4x1x2，即x1x2≤2． …………………4分
∵△MNP为正三角形，且MN＝2．∴PK＝3，PK⊥MN． →x A M B MN顺时针方向旋转60°后得到MP．
→ →→MP＝(x0－x1，y0)，MN＝(x2－x1，3x2)． 3
?1 ??x－x?
x－x??22???＝? ∴??，即
??y???－3 1??3x?
?22?
2
1
0
10
2
x0－x1＝(x2－x1)＋x2，y0＝－123233
(x2－x1)＋x2． 22
13
∴x0＝2x2＋x1，y0＝x1． …………………………………………8
22分
22＝(2x2＋1x1)2＋3x2＝x2＋4x2＋2x1x2
∴AP＝x2＋y0022411
＝4＋4x1x2≤4＋4×2＝12， …………………………………………12分
即AP≤23．
答：设计AM＝AN＝2 km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分 解法六(几何法)：由运动的相对性，可使△PMN不动，点A在运动．
由于∠MAN＝60°，∴点A在以MN为弦的一段圆弧(优弧)上，…………4分 设圆弧所在的圆的圆心为F，半径为R，
由图形的几何性质知：AP的最大值为PF＋R． …………8分 在△AMN中，由正弦定理知：
＝2R，
sin60°
N E F M - 8 -
C P MNA B
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