第26届全国中学生物理竞赛预赛试卷参考解答与评分标准

在极坐标中讨论．取极坐标，坐标原点在地心处，极轴由北极指向南极，如图2所示．碰撞点在北极上空，是椭圆轨道的远地点，结合物轨道的椭圆方程

r?p （11）

1?ecos?式中e是偏心率，p是椭圆的半正焦弦，远地点到地心的距离 rmax=R+h （12） 由解析几何有 e?rmax?r2a?min(?0.363 5 ) （13）

在轨道的近地点，r=rmin，θ=0，由（11）式得

p=rmin(1+e)(=4563km) （14） 或有

p=rmax (1－e) （15） 在结合物撞击地球处；r= R，由（11）式有

p （16）

1?eco?sp?R??或 cos （17）

eR R?代人有关数据可得

cosθ=－0.7807 （18） θ=141.320 （19） 这是在北纬51.320 ． 评分标准：本题20分．

第（i）小题12分．（1）或（2）、（3）或（4）、（5）或（6）式各2 分，（8）式3分，（10）式3分．

第（ii）小题8分．（11）、（12）、（13）、（14）或（15）、（16）或（17）式各l分，（19）式2分（答案在1410到1420之间的都给2分），正确指出纬度给l分．

解法二

在直角坐标中讨论．取直角坐标系，以椭圆的对称中心为坐标原点O, x轴通过近地点和远地点并由远地点指向近地点，如图3所示．结合物轨道的椭圆方程是

x2y2?2?1 （20） 2a?b?式中a＇、b＇分别为结合物椭圆轨道的半长轴和半短轴．远地点到地心的距离

rmax=R+h （21） 根据解析几何，若c为地心与坐标原点间的距离，

c= rmax－a＇(=1912km) （22）

而 b??a?2?c2 （23）

注意到a＇由（9）式给出，得

b＇=4899km （24）

结合物撞击地面处是结合物的椭圆轨道与地面的交点，设该处的坐标为xp和yp，则有

xp=Rcosθ+c （25） yp=Rsinθ （26）

式中θ为从地心指向撞击点的矢经与x方向的夹角．因撞击点在结合物的轨道上，将（24）、（25）式代入轨道方程（20）式，经整理得

2?2?a?2)co? R2(bs?2?2?2? 0 （27） b2cRc?o?s?ab2?a2?R引人以下符号并代人有关数据得 ??R2(b?2?a?2)?(?148?41110km http://hfwq.cersp.n ) ??2b?2cR(?584?61110km ht )

??b?2c2?a?2b?2?a?2(R2?5465?1011khttp://hfwq.cersp.nm )代入（27）式得

?co2s???co?s??? 0 （28）解得 cos??????2?4??2? （29）舍掉不合理的答案，得

cosθ=－0.7807 （30） θ=141.320 （31）这是在北纬51.320 ． 评分标准：http://hfwq.cersp.n

（20）、（21）、（22）、（23）或（24）、（27）式各l分，（1410到1420之间的都给2分），正确指出纬度给1 分．http://hfwq.cersp.n

31）式2分（答案在