大学热力学与统计物理答案第二章

第二章 均匀物质的热力学性质

2.1 已知在体积保持不变时，一气体的压强正比于其热力学温度. 试证明在温度保质不变时，该气体的熵随体积而增加.

解：根据题设，气体的压强可表为

p?f?V?T, （1）

dF??SdT?pdV

式中f(V)是体积V的函数. 由自由能的全微分 得麦氏关系

将式（1）代入，有

p??S???p???f(V)?. （3） ????T??V?T??T?V?S???0. 这意味着，在温度保持不变时，该?V??T??S???p??????. （2） ??V?T??T?V由于p?0,T?0，故有??气体的熵随体积而增加.

2.2 设一物质的物态方程具有以下形式：

p?f(V)T,

试证明其内能与体积无关.

解：根据题设，物质的物态方程具有以下形式：

故有

??p????f(V). （2） ?T??Vp?f(V)T, （1）

但根据式（2.2.7），有

??U???p??T?????p, （3） ?V?T??T??V所以

??U????Tf(V)?p?0. （4） ??V?T这就是说，如果物质具有形式为（1）的物态方程，则物质的内能与体积无关，只是温度T的函数.

2.3 求证： (a)???S???0; ()???p?b??S?H??V??? 0.U解：焓的全微分为

dH?TdS?Vdp. 令dH?0，得

???S?V??p?????0. HT内能的全微分为

dU?TdS?pdV. 令dU?0，得

???S?p??V????0. UT

2.4 已知???U???U???V???0，求证???0. T??p?T解：对复合函数

U(T,P)?U(T,V(T,p)) 求偏导数，有

???U???U???V???p?????V????. T?T??p?T如果???U???V???0，即有 T

???U???p???0. T式（2）也可以用雅可比行列式证明：

（1）

（2） （3）

（4） （1）

（2） （3） ??U??(U,?????p?T?(p,?(U,??(V,T)T)T)?(V,T)T)?(p,T)

??U???V????. （2） ????V?T??p?T

2.5 试证明一个均匀物体的在准静态等压过程中熵随体积的增减取决于等压下温度随体积的增减.

解：热力学用偏导数??用???S??描述等压过程中的熵随体积的变化率，?V??p?T??描述等压下温度随体积的变化率. 为求出这两个偏导数的关??V?p系，对复合函数

求偏导数，有

Cp??T???S???S???T???????????. （2） ??V?p??T?p??V?pT??V?pS?S(p,V)?S(p,T(p,V)) （1）

因为Cp?0,T?0，所以???S???T?的正负取决于???的正负. ??V?p??V?p式（2）也可以用雅可经行列式证明：

?(S,??S??????V?P?(V,?(S,??(T,p)p)p)?(T,p)p)?(V,p)

??S???T?????? （2） ?T?V??P??P

2.6 试证明在相同的压强降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过程中的温度降落.

解：气体在准静态绝热膨胀过程和节流过程中的温度降落分别由