2020届高三理科数学一轮复习讲义教师用书全套打包下载第13章 选修系列

所以ab＋bc＋ca＝a(b＋c)＋bc<0，与题设矛盾． (2)若a＝0，则与abc>0矛盾， 所以必有a>0. 同理可证：b>0，c>0. 综上可证a，b，c>0.

放缩法证明不等式(师生共研)

若a，b∈R，求证：

|a＋b||a||b|

≤＋. 1＋|a＋b|1＋|a|1＋|b|

【证明】 当|a＋b|＝0时，不等式显然成立． 当|a＋b|≠0时， 由0＜|a＋b|≤|a|＋|b| ?

11≥， |a＋b||a|＋|b|

11＝≤ 111＋|a＋b|＋11＋|a＋b||a|＋|b||a＋b|

所以

＝

1＋|a|＋|b|

|a||b||a||b|

＋≤＋.

1＋|a|＋|b|1＋|a|＋|b|1＋|a|1＋|b|

|a|＋|b|

＝

综上，原不等式成立．

“放”和“缩”的常用技巧

在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．常见的放缩变换有：

11111212

(1)变换分式的分子和分母，如2<，2>，<，>.上面不等式

kk（k－1）kk（k＋1）kk＋k－1kk＋k＋1中k∈N*，k>1.

(2)利用函数的单调性．

aa＋m

(3)真分数性质“若00，则<”．

bb＋m

[提醒] 在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度．

1111

设n是正整数，求证：≤＋＋…＋<1. 2n＋1n＋22n证明：由2n≥n＋k>n(k＝1，2，…，n)，得

111

≤<； 2nn＋1n111≤<； 2nn＋2n

111≤<. 2nn＋kn

当k＝1时，

当k＝2时，…

当k＝n时，

111≤<， 2nn＋nn

1n111n所以＝≤＋＋…＋<＝1.

22nn＋1n＋22nn所以原不等式成立．

[基础题

组练]

1．已知实数a，b，c满足a>0，b>0，c>0，且abc＝1. (1)证明：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8； 111(2)证明：a＋b＋c≤＋＋.

abc

证明：(1)1＋a≥2a，1＋b≥2b，1＋c≥2c， 相乘得：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8abc＝8. 111

(2)＋＋＝ab＋bc＋ac， abcab＋bc≥2ab2c＝2b， ab＋ac≥2a2bc＝2a， bc＋ac≥2abc2＝2c， 111

相加得a＋b＋c≤＋＋. abc1111

2．求证：2＋2＋2＋…＋2<2.

123n

1111

证明：因为2<＝－，(n＞1)

nn（n－1）n－1n

11?1??11?11111111??－所以2＋2＋2＋…＋2<1＋＋＋＋…＋＝1＋?1－2?＋?2－3?＋…＋??＝123n1×22×33×4?n－1n?（n－1）×n1

2－<2.

n

3．(2019·长春市质量检测(一))设不等式||x＋1|－|x－1||<2的解集为A. (1)求集合A；

(2)若a，b，c∈A，求证：?

1－abc?

>1.

?ab－c?

解：(1)由已知，令f(x)＝|x＋1|－|x－1| 2，x≥1，??

＝?2x，－1＜x＜1， ??－2，x≤－1，

由|f(x)|<2得－1

?1－abc?(2)证明：要证??>1，只需证|1－abc|>|ab－c|，

ab－c??

只需证1＋a2b2c2>a2b2＋c2， 只需证1－a2b2>c2(1－a2b2)， 只需证(1－a2b2)(1－c2)>0，

由a，b，c∈A，得－10恒成立．

?1－abc?

综上，??>1.

ab－c??

4．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，当x∈[－1，1]时，|f(x)|≤1. (1)求证：|b|≤1；

(2)若f(0)＝－1，f(1)＝1，求实数a的值．

解：(1)证明：由题意知f(1)＝a＋b＋c，f(－1)＝a－b＋c， 1

所以b＝[f(1)－f(－1)]．

2因为当x∈[－1，1]时，|f(x)|≤1， 所以|f(1)|≤1，|f(－1)|≤1，

11

所以|b|＝|f(1)－f(－1)|≤[|f(1)|＋|f(－1)|]≤1.

22

(2)由f(0)＝－1，f(1)＝1可得c＝－1，b＝2－a， 所以f(x)＝ax2＋(2－a)x－1.

当a＝0时，不满足题意，当a≠0时， 函数f(x)图象的对称轴为x＝

a－211

，即x＝－. 2a2a

因为x∈[－1，1]时，|f(x)|≤1，

即|f(－1)|≤1，所以|2a－3|≤1，解得1≤a≤2. 11?111

所以－≤－≤0，故|f??2－a?|＝ 22a11?11

－＋(2－a)?－?－1|≤1. |a??2a??2a?（a－2）2整理得|＋1|≤1，

4a（a－2）2

所以－1≤＋1≤1，

4a（a－2）2

所以－2≤≤0，

4a（a－2）2

又a＞0，所以≥0，

4a（a－2）2

所以＝0，所以a＝2.

4a

[综合题组练]

1．已知函数f(x)＝|x－2|. (1)解不等式：f(x)＋f(x＋1)≤2； (2)若a<0，求证：f(ax)－af(x)≥f(2a)． 解：(1)由题意，得f(x)＋f(x＋1)＝|x－1|＋|x－2|. 因此只要解不等式|x－1|＋|x－2|≤2.

1

当x≤1时，原不等式等价于－2x＋3≤2，即≤x≤1；

2当1

当x>2时，原不等式等价于2x－3≤2，即2

25??1

≤x≤?. 综上，原不等式的解集为?x?2???2

(2)证明：由题意得f(ax)－af(x)＝|ax－2|－a|x－2|＝|ax－2|＋|2a－ax|≥|ax－2＋2a－ax|＝|2a－2|＝f(2a)，

2