＝
1
，
137?2
10×??x－5?＋5
13535当＝，即x＝时，(sin θ)max＝. x537
4．?ABCD中，AB＝2，M为CD的中点，BM＝3，且DAM为等边三角形，沿AM将△DAM折起至PAM的位置，使PB＝2.
(1)求证：BM⊥PA；
(2)求二面角A-PB-M的平面角的正弦值．
解析 (1)证明：由已知，在△ABM中，BM＝3，AM＝1，AB＝2，∴BM2＋AM2＝AB2，∴BM⊥AM.又在△PMB中，PB＝2，PM＝1，BM＝3，∴PM2＋BM2＝PB2，∴BM⊥PM.又PM∩AM＝M，∴BM⊥平面PAM，∴BM⊥PA.
(2)在△PAM中，作PO⊥AM交AM于点O，取AB中点K，以O为原点，OA，OK，OP1
，0，0?，所在射线分别为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系(图略)，则由已知可得A??2?P?0，0，?
113?
－，3，0?，M?－，0，0?， ，B??2??2?2?
313→1→∴PA＝?，0，－?，PB＝?－，3，－?.
2?2??2?2
设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y，z)，
→?n＝0，?PA·
则由?
→?n＝0，?PB·
??x－3z＝0，
得?∴n＝(3，3，3)． ??－x＋23y－3z＝0，
同理，平面PBM的一个法向量为m＝(－3,0，3)．
设二面角A-PB-M的平面角为α， 则|cos α|＝
|m·n|525
＝，∴sin α＝. |m|·|n|55
5．(2017·甘肃兰州诊断)如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AB＝2，BC＝CD＝1，顶点D1在底面ABCD内的射影恰为点C.
(1)求证：AD1⊥BC；
π
(2)若直线DD1与直线AB所成的角为，求平面ABC1D1与平面ABCD所成角(锐角)的
3余弦值．
解析 (1)证明：连接D1C，则D1C⊥平面ABCD， ∴D1C⊥BC.
在等腰梯形ABCD中，连接AC. ∵AB＝2，BC＝CD＝1，AB∥CD， ∴AC＝3. ∴AB2＝BC2＋AC2.
∴BC⊥AC，又∵AC∩D1C＝C， ∴BC⊥平面AD1C，∴AD1⊥BC. (2)由(1)知，AC，BC，D1C两两垂直．
π
∵AB∥CD，∴∠D1DC＝.
3∵CD＝1，∴D1C＝3.
→→→
又AC＝3，以C为原点，CA，CB，CD1分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间
直角坐标系，则C(0,0,0)，A(3，0,0)，B(0,1,0)，D1(0,0，3)，
→→
AB＝(－3，1，0)，AD1＝(－3，0，3)． 设平面ABC1D1的法向量为n＝(x，y，z)， →??AB＝0，?n·?y－3x＝0，由?得?
→?z－x＝0，??AD1＝0，?n·
可得平面ABC1D1的一个法向量n＝(1，3，1)． →
又CD1＝(0,0，3)为平面ABCD的一个法向量， →CD1·n5→
因此cos〈CD1，n〉＝＝，
5→
|CD1||n|
∴平面ABC1D1与平面ABCD所成角(锐角)的余弦值为
6．(2017·北京清华附中一模)如图，在棱台ABC-FED中，△DEF与△ABC分别是边长为1与2的正三角形，平面ABC⊥平面BCDE，四边形BCDE为直角梯形，BC⊥CD，CD
5
. 5
→→
＝1，点G为△ABC的重心，N为AB的中点，AM＝λAF(λ∈R，λ>0)．
2
(1)当λ＝时，求证：GM∥平面DFN；
3
π
(2)若直线MN与CD所成角为，试求二面角M-BC-D的余弦值．
3
解析 (1)证明：连接AG并延长交BC于点P，连接PF，NP.∵点G为△ABC的重心，∴AG2AGAM2→2→P为BC的中点，且＝，又AM＝AF，∴＝＝，∴GM∥PF.∵N为AB的中点，P
AP33APAF3为BC的中点，∴NP∥AC.又AC∥DF，
∴NP∥DF，则P，D，F，N四点共面，即PF?平面DFN， ∴GM∥平面DFN.
(2)∵平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC∩平面BCDE＝BC，AP⊥BC，∴AP⊥平面BCDE，连接PE，易得PE⊥BC.以P为原点，PC所在直线为x轴，PE所在直线为y轴，PA所在直13线为z轴建立空间直角坐标系，则C(1,0,0)，D(1,1,0)，A(0,0，3)，F?，1，?，B(－1,0,0)，
2??213→→
N?－，0，?.设M(x，y，z)，∵AM＝λAF，
2??2
?λ3→?λ＋13∴M?，λ，3－λ?，NM＝??， ，λ，?1－λ?2??222??
π→CD＝(0,1,0)．∵MN与CD所成角为，
3π|NM·CD|∴cos＝＝
3→→|NM|·|CD|
→→λ
?λ＋1?223
??＋λ＋4?1－λ?2?2?
11＝，得2λ2＋λ－1＝0，∴λ＝，∴22
1133?
M?，，. ?424?
设平面MBC的法向量为n＝(a，b，c)，
→?BC＝0，?n·
则?取n＝(0,33，－2)．
→?BM＝0，?n·
又平面BCD的一个法向量为ν＝(0,0,1)， |n·ν|231∴二面角M-BC-D的余弦值为＝. |n|·|v|31
相关推荐：
loading