高等数学练习题(附答案)

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《高等数学》

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一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分）

（ ）1. 收敛的数列必有界.

（ ）2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. （ ）3. 闭区间上的间断函数必无界. （ ）4. 单调函数的导函数也是单调函数.

（ ）5. 若f(x)在x0点可导，则f(x)也在x0点可导.

（ ）6. 若连续函数y?f(x)在x0点不可导，则曲线y?f(x)在(x0,f(x0))点没有切线.

（ ）7. 若f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上连续.

（ ）8. 若z?f(x,y)在（x0,y0）处的两个一阶偏导数存在，则函数z?f(x,y)在（x0,y0）处可微.

（ ）9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解.

（ ）10. 设偶函数f(x)在区间(?1,1)内具有二阶导数，且 f??(0)?f?(0)?1, 则

f(0)为f(x)的一个极小值.

二、填空题.（每题2分，共20分）

1. 设f(x?1)?x，则f(x?1)? .

22. 若f(x)?2?12?11x1x，则lim?? .

x?03. 设单调可微函数f(x)的反函数为g(x), f(1)?3,f?(1)?2,f??(3)?6则

g?(3)? .

4. 设u?xy?x, 则du? . y可编辑

.

5. 曲线x?6y?y在(?2,2)点切线的斜率为 .

6. 设f(x)为可导函数,f?(1)?1,F(x)?f()?f(x),则F?(1)? .

2231x7. 若

?f(x)0t2dt?x2(1?x),则f(2)? .

8. f(x)?x?2x在[0,4]上的最大值为 . 9. 广义积分

???0e?2xdx? .

2210. 设D为圆形区域x?y?1,??yD1?x5dxdy? .

三、计算题（每题5分，共40分）

111???). 1. 计算lim(2?22n??n(n?1)(2n)2. 求y?(x?1)(x?2)(x?3)??(x?10)在（0，+?）内的导数.

23103. 求不定积分

?1x(1?x)dx.

4. 计算定积分

??0sin3x?sin5xdx.

3225. 求函数f(x,y)?x?4x?2xy?y的极值. 6. 设平面区域D是由y?x,y?x围成，计算??Dsinydxdy. y7. 计算由曲线xy?1,xy?2,y?x,y?8. 求微分方程y??y?3x围成的平面图形在第一象限的面积.

2x的通解. y四、证明题（每题10分，共20分）

1. 证明：arctanx?arcsinx1?x2 (???x???).

可编辑

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2. 设f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(x)?0,

F(x)??f(t)dt??0xxb1dt f(t)证明：方程F(x)?0在区间(a,b)内有且仅有一个实根.

《高等数学》参考答案

一、判断题. 将√或×填入相应的括号内（每题2分，共20分）

1.√ ；2.× ；3.×； 4.× ；5.×； 6.× ；7.× ；8.× ；9.√ ；10.√.

二、 填空题.（每题2分，共20分）

21.x?4x?4； 2. 1； 3. 1/2； 4.(y?1/y)dx?(x?x/y)dy；

25. 2/3 ； 6. 1 ； 7.

336 ； 8. 8 ； 9. 1/2 ； 10. 0.

三、计算题（每题5分，共40分）

111n?1n?1???L??1.解：因为

(2n)2(2n)2n2(n?1)2n2且 lim由迫敛性定理知： lim(n??n?1n?1?0lim，=0

n??(2n)2n??n2111????)=0 222n(n?1)(2n)2.解：先求对数lny?ln(x?1)?2ln(x?2)??10ln(x?10)

?11210y?????? yx?1x?2x?10?y??(x?1)?(x?10)(3.解：原式=21210????) x?1x?2x?10?11?xdx

=2?11?(x)2dx

可编辑

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=2arcsin4.解：原式=

x?c

??0sin3xcos2xdx

?32 =

??2020cosxsinxdx????2cosxsinxdx

32 =

?sinxdsinx?32???2sinxdsinx

32222?[sin2x]? =[sin2x]0?

552 =4/5

25.解： fx??3x?8x?2y?0 fy??2x?2y?0

5?5 故 ??x?0?x?2 或?

?y?0?y?2当 ??x?0??(0,0)??2，fxy??(0,0)?2 ??(0,0)??8，fyy时fxx?y?0???(?8)?(?2)?22?0 且A=?8?0

? （0，0）为极大值点 且f(0,0)?0

当 ??x?2??(2,2)??2，fxy??(2,2)?2 ??(2,2)?4， fyy时fxx?y?2???4?(?2)?22?0 ?无法判断

6.解：D=(x,y)0?y?1,y?x?y

2?????D1ysiny1sinysinydxdy??dy?2dx=?[x]ydy y20y0yyy可编辑

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=

?(siny?ysiny)dy

011 =[?cosy]0??10ydcosy

10 =1?cos1?[ycosy]??cosydy

01 =1?sin1 7.解：令u?xy，v?

y

；则1?u?2，1?v?3 x

1J?xuyuxv?2uvyvv?u2vv?1

2vu2uv231dv?ln3 ? A???d???du?112vD8.解：令 y?u，知(u)??2u?4x

2 由微分公式知：u?y?e?22dx(??4xe??2dxdx?c)

?e2x(??4xe?2xdx?c)

?e2x(2xe?2x?e?2x?c)

四.证明题（每题10分，共20分）

1.解：设 f(x)?arctanx?arcsinx1?x22

1?f?(x)??1?x211?x1?x221?x??1?x2x21?x2=0

?f(x)?c ???x???

令x?0 ?f(0)?0?0?0?c?0 即：原式成立。

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