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全国高中数学联赛与各省市预赛历届(2009-2019)试题汇编 函数大题强化训练(解析版)

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全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编

专题22函数大题强化训练(省赛试题汇编)

1.【2018年浙江预赛】设【答案】【解析】 解1:所以只要考虑(1)当

. 时,即

,此时函数,所以

解得(2)当而对b=0有(3)当有(4)当

时,即

,所以

综上或解2:设

,或

.

的最大最小值.

.

.

,则有

依题意,

时,即

时,此时函数. ,此时函数

的最值在拋物线的左右端点取得,对任意,解得

.

时,即

,此时函数

的最值在拋物线的顶点和右端点取得, .

的最值在拋物线的顶点和左端点取得,而对b=0

的最值在拋物线的左右端点取得,对任意

,对于

,且对任意实数b均有

,求a的取值范围.

2.【2018年山西预赛】求解函数【答案】最大值为【解析】

易知函数定义域为全体实数,由于

最小值为

,令,则,

所以,因此;函数y最大值为最小值为.

3.【2018年福建预赛】函数是数学中重要的概念之一,同学们在初三、高一分别学习过,也知晓其发展过程.1692年,德国数学家莱布尼茨首次使用function这个词,1734年瑞士数学家欧拉首次使用符号f(x)表示函数.1859年我国清代数学家李善兰将function译作函数,“函”意味着信件,巧妙地揭示了对应关系.密码学中的加密和解密其实就是函数与反函数.对自变量恰当地赋值是处理函数问题,尤其是处理抽象函数问题的常用方法之一.请你解答下列问题.

已知函数f(x)满足:对任意的整数a,b均有f(a+b)=f(a) +f(b)+ab+2,且f(-2)=-3.求f(96)的值. 【答案】4750 【解析】

在f(a+b)=f(a)+f(b)+ab+2中,令a=b=a,得 f(0)=f(0)+f(0)+0+2,于是f(0)=-2.

在f(a+b)=f(a)+f(b)+ab+2中,令a=2,b=-2,得f(0)=f(2)+f(-2)-4+2. ∴-2=f(2)_3-4+2,f(2)=3.

在f(a+b)=f(a)+f(b)+ab+2中,令a=n-2,b=2,得

f(n)=f(n-2)+f(2)+2(n-2)+2=f(n-2)+3+2(n-2)+2=f(n-2)+2n+l. ∴f(n)-f(n-2)=2n+1. ∴f(96)-f(94)=2×96+1, f(94)-f(92)=2×94+1, f(94)-f(92)=2×94+1, ……

上述等式左右两边分别相加,得f(96)-f(2)=2(96+94+…+4)+47. ∴

4.【2018年贵州预赛】已知函数【答案】【解析】 令u=x-1,则设

,则

,则

,且

.

,求该函数的值域.

当u>0时,

由于0

所以函数的值域为故答案为:

5.【2018年湖南预赛】已知函数(1)若(2)若

,求在区间

的单调区间;

.

(当且仅当,即时取等

上是增函数,求实数的取值范围.

;增区间为

;(2)

【答案】(1)减区间为【解析】 试题分析: (1)当

时,

,由

,增区间为

。(2)令

可得函数的定义域为

,分两种情况考虑。当

;当

,结合图象

时,

可得函数的减区间为若满足题意则

上单调递减,且

上单调递增,且

时,若满足题意则

。由此得到关于a的不等式组,分别解不等式

组可得所求范围。 试题解析: (1)当

时,

由解得

,得

所以函数的定义域为结合图象可得函数的减区间为(2)令①当

时,

,则函数

, ,增区间为

的抛物线,

的图象为开口向上,对称轴为

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