浅析数学方法之换元法

浅析数学方法之换元法

摘 要 我们在解数学题时把某个式子看成一个整体,用一个新的变量来代替它,从而解决,这种数学解题方法叫做换元法。借助真分式换元可以把分散的条件联系起来,或者把条件与结论联系起来,变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化。

关键词 化高次为低次 化无理式为有理式 化超越式为代数式 等价变换

我们在解数学题时,常把某个式子看成一个整体,用一个新的变量来代替它,从而使问题得以解决,这种数学解题方法叫做换元法。它的实质是转化,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化。

换元法可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式等。具体方法有:局部换元、三角换元、均值换元、增量换元、和真分式换元等。

一、局部换元

局部换元就是在题目的条件或者结论中,某个代数式多次出现,用一个字母来代替它,问题就能得到简化,当然有时候要通过变形才能发现。

二、三角换元

对于某些代数问题,如果能充分利用题设所给的已知条件,通过联想类比,将代数形式转化为三角形式,再利用三角函数的性质,往往能使问题中原来繁琐、复杂的代数运算变成了简单、灵活多变的三角运算获得顺利和简捷的解答。

三、均值换元

在解题过程中,如果出现条件 ,则我们常令 ,这种换元称为均值换元。

【例1】已知 且 ,求证:

【证明】因为且所以设。