机械可靠性习题

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第一章 机械可靠性设计概论

1、为什么要重视和研究可靠性？

可靠性设计是引入概率论与数理统计的理论而对常规设计方法进行发展和深化而形成的一种新的现代设计方法。1）工程系统日益庞大和复杂，是系统的可靠性和安全性问题表现日益突出，导致风险增加。2）应用环境更加复杂和恶劣3）系统要求的持续无故障任务时间加长。4）系统的专门特性与使用者的生命安全直接相关。5）市场竞争的影响。 2、简述可靠性的定义和要点？

可靠性定义为：产品在规定的条件下和规定的时间区间内完成规定功能的能力。主要分为两点：1）可靠度，指产品在规定条件下和规定时间内，完成规定功能的概率。1）失效率，定义为工作到时可t时尚未失效的产品，在时刻t以后的单位时间内发生失效的概率。

第二章 可靠性的数学基础

1、某零件工作到50h时，还有100个仍在工作，工作到51h时，失效了1个，在第52h内失效了3个，试求这批零件工作满50h和51h时的失效率?(50)、?(51) 解：1）?

???nf(t)?1,ns(t)?100,?t?1

?(50)?f1?0.01

100?12）?

?n(t)?3,ns(t)?100,?t?2

?(51)?3?0.015

100?2??4?1??t2、已知某产品的失效率?(t)???0.3?10h。可靠度函数R(t)?eR=99.9%的相应可靠寿命t0.999、中位寿命t0.5和特征寿命te?1 解：可靠度函数 R(t)?e 两边取对数 lnR(??t，试求可靠度

故有 R(??tR )?etRtR)???tR

lnR(t0.999)??ln0.999h?33h ?40.3?10 则可靠度寿命

t0.999??t0.999???lnR(t0.5)中位寿命

?lnR(e)?1??ln0.5h?23105h

0.3?10?4特征寿命

t0.999?????ln0.3679h?33331h ?40.3?10

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第三章 常用的概率分布及其应用

1、次品率为1%的的大批产品每箱90件，今抽检一箱并进行全数检验，求查出次品数不超过5的概率。（分别用二项分布和泊松分布求解） 解：1）二项分布：P(x?5)?C90pq5590?5?90!?0.015?0.9990?5?1.87?10?3 5!?85!2）泊松分布：取??np?90?0.01?0.9

P(x?5)??ke??k!0.95?e?0.9??2.0?10?3

5!2、某系统的平均无故障工作时间t=1000h，在该系统1500h的工作期内需要备件更换。现有3个备件供使用，问系统能达到的可靠度是多少？ 解：应用泊松分布求解???t?1?1500?1.5 1000P(x?3)??ke??k!1.53?e?1.5??0.12551

3!

3、设有一批名义直径为d=25.4mm的钢管，按规定其直径不超过26mm时为合格品。如果钢管直径服从正态分布，其均值ｕ=25.4mm，标准差S=0.30mm，试计算这批钢管的废品率值。

解：所求的解是正态概率密度函数曲线x=26以左的区面积，即：

P(x?26)???26?1?x?25.4?2?exp?????dx ??0.32???2?0.3???1x??变为标准型为z???26?25.40.3?1.1

由正态分布表查的???z?1.1的标准正态分布密度曲线下区域面积是

?(1.1)?0.864，所以： P(x?26)?1?0.864?0.136

4、 一批圆轴，已知直径尺寸服从正态分布，均值为14.90mm，标准差为0.05mm。若规定，

直径不超过15mm即为合格品，1）试计算该批圆轴的废品率是多少？2）如果保证有95%的合格品率，则直径的合格尺寸应为多少？

解：1）所求的解是正态概率密度函数曲线x=15以左的区面积，即：

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2?11?x?14.9??exp?????dx ??0.052???2?0.03???P(x?15)???15变为标准型为z?x????15?14.90.05?0.45

?(0.45)?0.6736 P(x?15)?1?0.6736?0.3264

2）?(z)?0.95 则有表查的z=1.65 所以z?x????1.65 则x?z????1.65?0.05?14.9?15.31

因此，直径的合格尺寸为15.31mm。

第四章 随机变量的组合运算与随机模拟

1、已知圆截面轴的惯性矩I=

?64d4，若轴径d=50mm，标准差?d?0.02mm，试确定惯性

矩I的均值和标准差。（可用泰勒级数近似求解） 解：I?f(d)??64d4 则f'(d)??16d3

4d所以 E(I)??I?f( D(I)?f(

'??)??D(d)

2d?)?64?d???64?504?306796mm4

?I?f'(?d)??d??16d3??d??164?503?0.02?490.78mm4

则惯性矩I(?I,?I)?(306796,490.78)mm

2.今有一受拉伸载荷的杆件，已知载荷F(?r,?r)?F(80000,1200)N,拉杆面积，拉杆长度

42L(?L,?L)?L(6000,60)mm,，材料的弹性模量E(?E,?E)?E(21?10,3150)N/mm,，

求在弹性变形范围内拉杆的伸长量?。（根据胡克定律：??解：??f(F)?FL，用泰勒级数展开法求解）。 AEFLL' 则f(F)? AEAEFLEFE(?)??????f(?)???A80000?600048?103 ??4??21?A?21?10AD(?)?f'(F)?D(F)

??2 .

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???f'(?F)??F??L?F???AE1200?6022.86 ??A?3150?A3、已知承受拉伸钢丝绳的强度和应力均服从正态分布，强度与载荷的参数分别为：

?r?907200N?r?136000N 求其可靠度。

?s?544300N?s?113400N解：z??r??s???2r2s?907200?544300136000?11340022?2.05

查表可得该零件的可靠度R=0.97982

第五章 可靠性设计的原理与方法

1、拟设计某一汽车的一种新零件，根据应力分析，得知该零件的工作应力为拉应力且为正态分布，其均值?sl?352MPa，标准差?sl?40.2MPa，为了提高其疲劳寿命，制造时使其产生残余压应力，亦为正态分布，其均值?sY?100MPa，标准差?sY?16MPa，零件的强度分析认为其强度亦服从正态分布，均值?r?502MPa，但各种强度因素影响产生的偏差尚不清楚，为了确保零件的可靠度不低于0.999。问强度的标准差是多少？ 解：已知：

St??352,40.2?MPa Sy?(100,16)MPa ?r?502MPa

则应力均值?s和标准方差?s分别为： ?s?St?Sy?352?100?252MPa

?s?St2?Sy2?40.22?162?43.27MPa

?s?r??s??3.1

22?s?r??s22应为题中给定的可靠度R=0.999，查标准正态分布表可得z=3.1 所以z??????s????502?252??22????43.27?68.054MPa 则 ?r??rs???3.13.1????2、已知某发动机零件的应力和强度均服从正态分布，?s?350MPa,?s?40MPa,

?r?820MPa,?r?80MPa,。试计算该零件的可靠度。又假设零件的热处理不好，使零

件强度的标准差增大为?r?150MPa,试求零件的可靠度。 .

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解：已知：?s?350MPa,?s?40MPa,?r?820MPa,?r?80MPa,

则 1） z??r??s???2r2s?820?35080?4022?5.25

经查正态分布表可得R?0.9999 2）?r?150MPa时，

z?820?350150?4022?3.03

经查正态分布表可得R?0.9988

第七章 系统的可靠性设计

1、某系统由4个相同元件并联组成，系统若要正常工作，必须有3个以上元件处于工作状态。已知每个元件的可靠度R=0.9，求系统的可靠度。

解：由已知可知，该系统为3/4的表决系统，k?4,i?3,R?0.9 则：

iiP(x?k)??iCxR(1?R)x?i

xiCx?x!

i!?(x?i)!因此

P(x?4)?

4!4!?0.94??1?0.9???0.94?(1?0.9)4?4?0.9185

3!?(4?3)!4!(4?4)!2、10个相同元件组成串联系统，若要求系统可靠度在0.99以上，问每个元件的可靠度至少应为多少？

解：已知：Rs?t??0.99,n?10；由此分配的串联系统每个元件的可靠度为

R(t)??Rs(t)??0.99

1n110?0.998995

3、10个相同元件组成并联系统，若要求系统可靠度在0.99以上，问每个元件的可靠度至少应为多少？

解：已知：Rs?t??0.99,n?10；由此分配的并联系统每个元件的可靠度为 .