[答案] C
11
[解析] y＝ln||为偶函数，当x>0时，y＝ln＝－lnx为减函数，故排除A、B；y＝－
xxx2＋1≤0，其图象在x轴下方，排除D，故选C．
1，x>0，??
12．(文)已知符号函数sgn(x)＝?0，x＝0，
??－1，x<0，个数为( )
A．4 C．2 [答案] C
[解析] 由题意得f(x)＝sgn(lnx)－lnx 1－lnx， x>1，??2
＝?－lnx， x＝1，??－1－ln2x， 0 当－1－lnx＝0时，方程无解，所以f(x)＝sgn(lnx)－lnx有两个零点，故选C． 1x(理)已知函数f(x)＝()－log3x，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且0 5的值( ) A．不小于0 C．恒为负数 [答案] B 1x[解析] 若实数x0是方程f(x)＝0的解，即x0是函数y＝()和y＝log3x的图象的交点 51 的横坐标，因为0 5 13．(文)(2013·湖南张家界一模)若logmn＝－1，则m＋3n的最小值是( ) A．22 C．2 [答案] B [解析] 由logmn＝－1，得m＝n，则mn＝1. 由于m>0，n>0，∴m＋3n≥23mn＝23.故选B． (理)(2015·广东肇庆检测)已知函数f(x)＝a＋loga(x＋1)(a>0且a≠1)在区间[0,1]上 - 9 - x－1 2 2 2 2 则函数f(x)＝sgn(lnx)－lnx的零点 2 B．3 D．1 122 则令1－lnx＝0?x＝e或x＝(舍去)；令－lnx＝0?xe B．恒为正数 D．不大于0 B．23 5D． 2 的最大值为M，最小值为N.若M＋N＝a，则实数a的值为( ) 1A． 4C．2 [答案] B [解析] 因为y＝a与y＝loga(x＋1)在[0,1]上具有相同的单调性，所以f(x)＝a＋loga(x1＋1)在[0,1]上单调，故M＋N＝f(0)＋f(1)＝a，即1＋a＋loga2＝a，解得a＝. 2 14．定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2014＋log2014x，则方程f(x)＝0的实根的个数为( ) A．1 C．3 [答案] C [解析] 当x>0时，f(x)＝0即2014＝－log2014x，在同一坐标系下分别画出函数f1(x)＝2014，f2(x)＝－log2014x的图象(图略)，可知两个图象只有一个交点，即方程f(x)＝0只有一个实根，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x<0时，方程f(x)＝0也有一个实根，又因为f(0)＝0，所以方程f(x)＝0的实根的个数为3. 二、填空题 15．(2014·河南郑州模拟)已知函数y＝f(x)的图象与函数y＝2－1的图象关于直线y＝x对称，则f(3)＝________. [答案] －2 [解析] 由题意y＝f(x)的图象与函数y＝2－1的图象关于直线y＝x对称，令f(3)＝a，则点(a,3)必在函数y＝2－1的图象上，所以2－1＝3，解得a＝－2，即f(3)＝－2. 16．(文)(2013·安徽师大附中、安庆一中联考)已知函数f(x)的定义域为A，若其值域也为A，则称区间A为f(x)的保值区间．若g(x)＝x＋m＋lnx的保值区间是[e，＋∞)，则m的值为________． [答案] －1 1 [解析] 由题意得，g(x)的值域为[e，＋∞)，由x≥e时，g′(x)＝1＋>0，所以当x≥e －x－a－x－x1B． 2D．4 xxxB．2 D．5 xxx时，g(x)为增函数，由题意可得g(e)＝e＋m＋1＝e，解得m＝－1. (理)(2014·山东郯城一中月考)对任意实数a、b，定义运算“*”如下：a*b＝ ??a，??b，? a≤b，a>b. 1 则函数f(x)＝log(3x－2)*log2x的值域为________． 2 [答案] (－∞，0] - 10 - 21 [解析] 易知函数f(x)的定义域为(，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y＝log(3x32－2)和y＝log2x的图象， 由a*b的定义可知，f(x)的图象为图中实线部分， 2 logx， ∴由图象可得f(x)＝?1 log??23x－2， 2 ， x>1. 的值域为(－∞，0]． 三、解答题 17．(文)(2014·吉林长春模拟)设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2. (1)求a的值及f(x)的定义域； 3 (2)求f(x)在区间[0，]上的最大值． 2 [解析] (1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a>0，a≠1)，∴a＝2. ??1＋x>0，由? ?3－x>0，? 得x∈(－1,3)， ∴函数f(x)的定义域为(－1,3)． (2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x) ＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)＋4]， ∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数； 当x∈(1,3)时，f(x)是减函数， 3 函数f(x)在[0，]上的最大值是f(1)＝log24＝2. 212－ax(理)已知函数f(x)＝log(a是常数且a<2)． 2x－1(1)求f(x)的定义域； (2)若f(x)在区间(2,4)上是增函数，求a的取值范围． 2－ax[解析] (1)∵>0，∴(ax－2)(x－1)<0， x－1 2 - 11 - 2??①当a<0时，函数的定义域为?－∞，?∪(1，＋∞)； ?a? ②当a＝0时，函数的定义域为(1，＋∞)； ?2?③当0 ? a? (2)∵f(x)在(2,4)上是增函数， 2－ax∴只要使在(2,4)上是减函数且恒为正即可． x－12－ax令g(x)＝， x－1 即当x∈(2,4)时g′(x)≤0恒成立且g(4)≥0. －a解法一：g′(x)＝ x－1－2－axa－2 ＝2 x－1x－1 2 ， ∴当a－2<0，即a<2时，g′(x)≤0. g(4)≥0，即1－2a≥0，∴a≤，∴a∈?－∞，?. 2 12 ?? 1? ? 2－ax2－a解法二：∵g(x)＝＝－a＋， x－1x－1 2－a∴要使g(x)＝－a＋在(2,4)上是减函数，只需2－a>0，∴a<2， x＋1以下步骤同解法一． 18．(文)已知函数f(x)＝loga(3－ax)． (1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围； (2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由． [解析] (1)由题意，3－ax>0对一切x∈[0,2]恒成立，∵a>0且a≠1， 3 ∴g(x)＝3－ax在[0,2]上是减函数，从而g(2)＝3－2a>0得a<.∴a的取值范围为(0,1) 2 ?3?∪?1，?. ?2? (2)假设存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 由题设f(1)＝1，即loga(3－a)＝1， 33?3? ∴a＝，此时f(x)＝log?3－x?，当x＝2时，函数f(x)没有意义，故这样的实数a不 2?22?存在． (理)(2014·四川资阳二诊)设函数f(x)＝log4(4＋1)＋ax(a∈R)． - 12 - x
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