高三数学一轮基础巩固 第2章 第5节 对数与对数函数(含解析)新人教A版

(1)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，求a的值；

(2)若不等式f(x)＋f(－x)≥mt＋m对任意x∈R，t∈[－2,1]恒成立，求实数m的取值范围．

[解析] (1)由函数f(x)是定义在R上的偶函数，得f(x)＝f(－x)恒成立， 即log4(4＋1)＋ax＝log4(4＋1)－ax， 4＋11

所以2ax＝log4x＝log4x＝－x，

4＋14所以(2a＋1)x＝0恒成立， 1

则2a＋1＝0，故a＝－.

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(2)f(x)＋f(－x)＝log4(4＋1)＋ax＋log4(4＋1)－ax＝log4(4＋1)＋log4(4＋1)＝log4[(4＋1)·(4＋1)]＝log4(2＋4＋4)≥log4(2＋24×4)＝1.

所以mt＋m≤1对任意t∈[－2,1]恒成立，令h(t)＝mt＋m，

??h由??h?

x－x－xx－xx－xx－xx－xx－x－2＝－2m＋m≤1，1＝m＋m≤1，

11

解得－1≤m≤，故实数m的取值范围是[－1，]．

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