第一章 导数及其应用 §1.1 变化率与导数 §1.1.1 变化率问题 §1.1.2 导数的概念 §1.1.3 导数的几何意义 §1.2 导数的计算
§1.2.1 几个常用函数的导数
§1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一) §1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二) §1.3 导数在研究函数中的应用 §1.3.1 函数的单调性与导数 §1.3.2 函数的极值与导数 §1.3.3 函数的最大(小)值与导数 §1.4 生活中的优化问题举例 §1.5 定积分的概念 §1.5.1 曲边梯形的面积 §1.5.2 汽车行驶的路程 §1.5.3 定积分的概念 §1.6 微积分基本定理 §1.7 定积分的简单应用 §1.7.1 定积分在几何中的应用 §1.7.2 定积分在物理中的应用 章末整合提升
章末达标测试 第二章 推理与证明 §2.1 合情推理与演绎推理 §2.1.1 合情推理 §2.1.2 演绎推理
§2.2 直接证明与间接证明 §2.2.1 综合法和分析法 §2.2.2 反证法 §2.3 数学归纳法 章末整合提升 章末达标测试
第三章 数系的扩充与复数的引入 §3.1 数系的扩充和复数的概念 §3.1.1 数系的扩充和复数的概念 §3.1.2 复数的几何意义 §3.2 复数代数形式的四则运算
§3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义 §3.2.2 复数代数形式的乘除运算 章末整合提升 章末达标测试 模块综合检测
§1.1 变化率与导数
§1.1.1 变化率问题 §1.1.2 导数的概念
[课标要求]
1．通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景．(难点) 2．会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点)
3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点)
一、函数平均变化率
f（x2）－f（x1）
如果函数关系用y＝f(x)表示，那么变化率可用式子表示，我们把这个式子称为函数y＝f(x)
x2－x1
从x1到x2的平均变化率．习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝f(x2)－f(x1)．于是平均变化率可以表示为
二、导数的有关概念 1．瞬时变化率
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是
f（x0＋Δx）－f（x0）
＝
Δx2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作＝
Δy
＝Δx
f（x0＋Δx）－f（x0）．
Δx，即f′(x0)
Δy
． Δx
Δy． Δx
知识点一 平均变化率 【问题1】 气球的膨胀率 阅读教材，思考下面的问题．
吹一只气球，观察一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？
33V， 4π
答案 气球的半径r(单位：dm)与体积V(单位：L)之间的函数关系是r(V)＝
(1)当空气容量V从0增加到1 L时，气球半径增加了r(1)－r(0)≈0.62(dm)， r（1）－r（0）
气球的平均膨胀率为≈0.62(dm/L)．
1－0
(2)当空气容量V从1 L增加到2 L时，气球半径增加了r(2)－r(1)≈0.16(dm)， r（2）－r（1）
气球的平均膨胀率为≈0.16(dm/L)．
2－1
可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 【问题2】 高台跳水
人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系
h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.
计算运动员在时间段①0≤t≤0.5，②1≤t≤2内的平均速度v，并思考平均速度有什么作用？ 答案 (1)在0≤t≤0.5这段时间里，
v＝
h（0.5）－h（0）
＝4.05(m/s)；
0.5－0
h（2）－h（1）
(2)在1≤t≤2这段时间里，v＝＝－8.2(m/s)．
2－1由以上计算体会到平均速度可以描述运动员在某段时间内运动的快慢． 【问题3】 结合问题1和问题2说出你对平均变化率的理解．
f（x2）－f（x1）
答案 (1)如果上述两个问题中的函数关系用y＝f(x)表示，那么问题1中的变化率可用式子
x2－x1
表示，我们把这个式子称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率，平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢．问题1中的平均变化率表示在空气容量从V1增加到V2时，气球半径的平均增长率．问题2中的平均变化率表示在时间从t1增加到t2时，高度h的平均增长率．
(2)平均变化率的几何意义就是函数y＝f(x)图象上两点P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))所在直线的斜率． (3)平均变化率的取值
①平均变化率可以表现函数的变化趋势，平均变化率为0，并不一定说明函数f(x)没有发生变化．
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